向量空间的基维数与坐标_第1页
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1、1,第三节向量空间的基、维数与坐标,一向量空间,二向量空间的基、维数与坐标,三基变换与坐标变换,四小结,2,说明,一、向量空间,定义3.18设是非空维向量的集合，若对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称为一个向量空间,集合对于加法及乘数两种运算封闭是指,3,4,例2判别下列集合是否为向量空间.,解,5,解,对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.,6,二、向量空间的基、维数与坐标,定义3.19设是向量空间，如果个向量且满足,（1）线性无关；,（2）中任一向量都可由线性表示.,7,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为,（

2、2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.,8,若是向量空间的一组基，,则对存在唯一一组有序数,使得,称为向量在基下的坐标,记为,9,特别，若是向量空间的一组基，,且为单位向量，称为V的一组规范基.,且两两正交，则称,为V的一组正交基；若两两正交,10,空间的一组规范基为,向量在此规范基下的坐标为,因为,11,例4设,并求关于基的坐标.,解,12,所以,因此,13,试判断集合V是否为向量空间.,14,一般有,15,三、基变换与坐标变换,由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化.,两组基的变换公式,16,其矩阵形式为：,的,过渡矩阵,前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？,（1）,称为,17,即,18,将（1）式代入上面方程得,19,所以有,或,（2）,上式就是在两组基下的坐标变换公式.,20,例6设中的两组基：,求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式.,解取中的第三组基为规范基,则有,21,其中,由,有,22,所以过渡矩阵.通过计算可得:,所以,23,若在基（1）下的坐标为，在基（2）下的坐标为，则由坐标变换公式有,即,24,四、小结,1.向量空间的基、

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