学案3等比数列.ppt

1、考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,返回目录,考纲解读,返回目录,考向预测,在高考客观题中,对等比数列的考查主要是涉及到通项公式和前n项和公式,以中低档题为主,在主观题特别是解答题中,对等比数列的考查,近几年题目难度大大降低,与三角、函数、方程及不等式联系的综合题难度较大但考的较少,2012年复习主要放在通项公式、求和公式的应用上.,返回目录,1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.其数学表达式为：（q为常数）或（q为常数）（n2）,常用定义判断或证明一个数列是等比数列.,第2项,前一项,同

2、一,公比,q(q0),返回目录,2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项公式an=.通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为qn-m=常用此求通项公式中的公比q.当公比q1时an=可以看成函数y=cqx，是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此，数列an各项所对应的点都在y=cqx图象上.3.等比中项如果三个数x，G，y组成，则G叫做x和y的等比中项，那么，即G2=.,xy,a1qn-1,等比数列,返回目录,4.等比数列的单调性等比数列an中，公比为q，则当a10,q1,或a10，0q1时，数列an为；当a10,0q1,或a10，q1时，数列an为；当q=1时

3、，数列an为；当q0时，数列an为.5.等比数列的前n项和公式如果等比数列an的首项为a1，公比为q，当q=1时，Sn=；当q1时，Sn=.其推导方法为.,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,na1,错位相减法,6.等比数列的性质若数列an为等比数列，m，n，p，qN*,且m+n=p+q，则aman=.an是等比数列，则an,|an|成数列,公比分别是；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列成.an成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，公比为.,返回目录,qm,apaq,等比,q和|q|,等比数列,成等比数列,返回目录,考点1等比数列基本量的计算,2010年高考浙江卷改编设Sn为等比

4、数列an的前n项和,8a2+a5=0,则=.,返回目录,【分析】建立关于a1,q的方程求解.,【解析】设等比数列an的首项为a1,公比为q,由已知q1,又8a2+a5=0,8a1q+a1q4=0,q3=-8,q=-2.,返回目录,(1)等比数列an中,an=a1qn-1,Sn=中有五个量,可以知三求二.(2)注意分类讨论的应用.,返回目录,设等比数列an的公比q1,前n项和为Sn.已知a3=2,S4=5S2,求an的通项公式.,【解析】由题设知a10,Sn=,则a1q2=2,由得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,即(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,返回目录,因

5、为q1,解得q=-1或q=-2.当q=-1时，代入得a1=2，通项公式an=2(-1)n-1;当q=-2时，代入得a1=，通项公式an=(-2)n-1.,返回目录,考点2通项公式与前n项和公式及应用,2010年高考陕西卷已知an是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列an的通项;(2)求数列的前n项和Sn.,返回目录,【分析】根据题列出方程求an的公差,则通项an可求;研究数列的特点,化归等差或等比数列并求和Sn.,【解析】(1）由题设知公差d0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得解得d=1或d=0（舍去）.故an的通项an=1+(n-1)1=n.(

6、2)由(1)知=2n,由等比数列前n项和公式,得Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.,返回目录,数列的通项公式和前n项和公式是数列中应用最广泛,最重要的公式,应熟记公式掌握应用.,返回目录,2010年高考四川卷已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(4-an)qn-1(q0,nN*),求数列bn的前n项和Sn.,返回目录,返回目录,返回目录,2009年高考陕西卷已知数列an满足a1=1，a2=2，an+2=，nN*.（1）令bn=an+1-an，证明：bn是等比数列；（2）求an的通项公式.,【分析】由已知建立bn与bn-1的关系,由定

7、义作出证明.,考点3等比数列的证明,返回目录,【解析】(1)证明：b1=a2-a1=1，当n2时，bn=an+1-an=bn是以1为首项，-为公比的等比数列.（2）由（1）知bn=an+1-an=，当n2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）,返回目录,当n=1时，=1=a1,an=（nN*）.,证明数列an是等比数列一般有两种方法:定义法:an+1=qan(nN*,q是常数);等比中项法:an+12=anan+2(nN*).做题时应根据题目中的已知条件来确定用哪一种方法.,返回目录,返回目录,数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*).(1

8、)设bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列;(2)设cn=,求证:cn是等比数列.,返回目录,【证明】an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.(1)数列bn是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1.S2=a1+a2=4a1+2,a2=5.b1=a2-2a1=3.,返回目录,(2)由(1)知bn=32n-1=an+1-2an,.数列是等差数列，公差为3，首项为2.an=(3n-1)2n-=2n-2.=2.数列cn为等比数列，公比为2.,返回目录,考点4等比数列的性质,已知等比数列前n项和为2,其后2n项的和为12,求再往后3n项的和.,【分析】由已知条

9、件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.,返回目录,【解析】利用等比数列的性质.由已知a1+a2+an=2,an+1+an+2+a2n+a2n+1+a2n+2+a3n=12.注意到(a1+a2+an),(an+1+an+2+a2n),(a2n+1+a2n+2+a3n),(a3n+1+a3n+2+a4n),也成等比数列,其公比为qn,于是,问题转化为已知:A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值.,返

10、回目录,由A1=2,A1qn+A1q2n=12,q2n+qn-6=0,则qn=2或qn=-3.由得A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+qn+q2n)=2q3n7=14q3n112(qn=2)-378(qn=-3).,=,返回目录,在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,可以减少运算量,提高解题速度,常用的性质有(1)若m+n=p+q,m,n,p,qN*，则aman=apaq;(2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.,返回目录,(1)已知等比数列an中,有a3a11=4a7,数列bn是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的值

11、;(2)在等比数列an中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.,【解析】(1)a3a11=4a7,a70,a7=4,b7=4,bn为等差数列,b5+b9=2b7=8.,返回目录,(2)解法一:a1a2a3a4=a1a1qq1q2a1q3=q6=1,a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15=q54=8,:=q48=8q16=2,a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43=q166=q6q160=(q6)(q16)10=1210=1024.,返回目录,解法二:由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为

12、p,设T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16=8,T4=T1p3=1p3=8p=2.,T11=a41a42a43a44=T1p10=210=1024.,返回目录,考点5等比数列综合问题,2010年高考安徽卷如图,设C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切.以rn表示Cn的半径,已知rn为递增数列.(1)证明:rn为等比数列;(2)设r1=1,求数列防治的前n项和.,返回目录,【分析】由题意,第n个圆的圆心横坐标与半径之间存在关系,第n个圆与第n+1个圆的圆心之间因外切也存在联系

13、,由此建立rn,rn+1的关系并求解.,【解析】(1)证明:将直线y=x的倾斜角记为,则有tan=,sin=.设Cn的圆心为(n,0),则由题意知rnn=,得n=2rn.同理n+1=2rn+1.从而n+1=n+rn+rn+1=2rn+1.将n=2rn代入,解得rn+1=3rn.故rn为公比q=3的等比数列.,返回目录,(2)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而.记Sn=,则有Sn=1+23-1+33-2+n31-n,=13-1+23-2+(n-1)31-n+n3-n.-，得=1+3-1+3-2+31-n-n3-n=-n3-n=-（n+）3-n.Sn=,返回目录,由于数列与函数、方程、三

14、角函数、解析几何之间存在着密切联系，因此解决这类综合问题也是必须掌握的，但应控制难度.,返回目录,已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+2n-1an=8n对任意的nN*都成立,数列bn+1-bn是等差数列.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)问是否存在kN*,使得bk-ak(0,1)?请说明理由.,返回目录,【解析】(1)已知a1+2a2+22a3+2n-1an=8n(nN*),n2时,a1+2a2+22a3+2n-2an-1=8(n-1)(nN*),-,得2n-1an=8,求得an=24-n,在中令n=1,可得a1=8=24-1,an=24-n(nN*

15、).由题意b1=8,b2=4,b3=2,b2-b1=-4,b3-b2=-2.数列bn+1-bn的公差为-2-(-4)=2.bn+1-bn=-4+(n-1)2=2n-6,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+(2n-8)=n2-7n+14(nN*).,返回目录,(2)bk-ak=k2-7k+14-24-k,令f(k)=k2-7k+14-24-k,当k4时,f(k)=（k-）2+-24-k单调递增,且f(4)=1,k4时,f(k)=k2-7k+14-24-k1.又f(1)=f(2)=f(3)=0,不存在kN*,使得bk-ak(0,1).,解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程的思想:等比数列中五个量a1,an,n,q,Sn一般可以“知