学案2任意角的三角函数与诱导公式.ppt

1、学案2任意角的三角函数与诱导公式,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,返回目录,考纲解读,考向预测,主要作为工具对三角函数进行恒等变换，考查恒等变形能力.题型主要是三角函数的求值，以及三角函数式的化简,为研究函数作基础，是本编的重点内容.,返回目录,返回目录,1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin=,cos=,tan=,它们都是以角为，以比值为的函数.,自变量,函数值,返回目录,(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:.2.设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重

2、合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴,y轴上的.由三角函数的定义知,点P的坐标为,即,其中cos=,sin=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T(T),则tan=.我们把轴上向量OM,ON,AT(或AT)分别叫做的、.,二正弦、三正切、四余弦,一全正、,正射影,（cos,sin),P(cos,sin),OM,ON,AT,余弦线,正弦线,正切线,3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.(3)倒数关系:tancot=1(,kZ).,返回目录,sin2+cos2=1(

3、R),(k+,kZ),-tan,4.六组诱导公式,返回目录,sin,-sin,-sin,sin,cos,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,sin,tan,tan,-tan,考点1三角函数的定义,设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,-)，且cos=x，求sin和tan.,【分析】若能求出问题中的未知数x，则由定义sin和tan可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个方程.,返回目录,【解析】是第四象限的角，x0,又P点到坐标原点O的距离r,由cos，得.x=,r=2.sin,tan.,返回目录,容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑P点所在的象限，x的取值分正负两

4、种情况去讨论.一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理的预测.,返回目录,已知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.,【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,当t0时,r=5t,返回目录,当t0时，sin=,cos=,tan=;当t0时,sin=,cos=-,tan=-.,返回目录,考点2单位圆与三角函数线,2010年高考四川卷（1）证明两角和的余弦公式C(+):cos(+)=coscos-sinsin;由C(+)推导两角和的正弦公式S(+):sin(+)=sincos

5、+cossin.(2)已知ABC的面积S=,ABAC=3，且cosB=，求cosC.,【分析】利用单位圆证明.,返回目录,【解析】(1)如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角,与-,使角的始边为Ox,交O于点P1,终边交O于点P2;角的始边为OP2,终边交O于点P3,角-的始边为OP1,终边交O于点P4.则P1(1,0),P2(cos,sin),P3(cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-).由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,则cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2展开并整理,得2-2cos(+)=2-2(cosco

6、s-sinsin).cos(+)=coscos-sinsin.,返回目录,由易得cos(-)=sin,sin(-)=cos，sin(+)=cos-(+)=cos(-)+(-)=cos(-)cos(-)-sin(-)sin(-)=sincos+cossin,sin(+)=sincos+cossin.,返回目录,返回目录,本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式，同时考查了诱导公式，同角三角函数的关系等基础知识及运算能力.,返回目录,已知01;(2)sintan.,证明:如图,设的终边与单位圆交于P点,作PMx轴,垂足为M,过点A(1,0)作ATx轴,交的终边于T,则sin=MP,cos=OM,tan

7、=AT.,返回目录,(1)在OMP中,OM+MPOP,cos+sin1.(2)连结PA,则SOPAS扇形OPASOTA,即OAMPOAOAAT,即sintan.,返回目录,考点3同角三角函数间的关系,已知x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；(2)求的值.,【分析】(1)由sinx+cosx=及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,从而求出sinx-cosx的值;另外,由0,从而判定sinx-cosx的符号,只需求(sinx-cosx)2即可.,返回目录,【解析】(1)解法一:联立方程:sinx+cosx=,sin2x+cos2x=1,由得sinx=-c

8、osx,将其代入,整理得25cos2x-5cosx-12=0.sinx=-cosx=,(2)由(1)可求出tanx,而想法使分子、分母都出现tanx即可.,x0,sinx-cosx=-.,返回目录,解法二:sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.又0,sinx-cosx0.由可知，sinx-cosx=-.,返回目录,(2)由已知条件及(1)可知sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,tanx=-.,解得,

9、又,返回目录,(1)方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,一定要注意其应用.(2)注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相互转化,若令sinx+cosx=t,则sinxcosx=.,返回目录,已知sin+cos=,(0,).求值:(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.,返回目录,解法一:sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos,sincos=0,cos0,sin=,cos=-.(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin3+cos3=.,返回目录,解法二：(1)同解法一.(2)(sin-c

10、os)2=1-2sincos=1-2(-)=.sin0,cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=1+=.,返回目录,考点4求值问题,已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2+sincos+2.,【分析】由已知可以求出tan，再由同角三角函数关系式可以求得sin和cos，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.,返回目录,【解析】由已知得tan=.（1）,（2）sin2+sincos+2=sin2+sincos+2(cos2+sin2),形如asin+bcos和sincos+c

11、cos2的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.,返回目录,已知tan=2,求：（1）tan(+)的值；（2）的值.,返回目录,（1）,返回目录,（2）由（1）得tan=,返回目录,考点5诱导公式,化简:,【分析】(1)直接利用诱导公式.(2)对k是偶数还是奇数分类讨论.,返回目录,【解析】(1)原式=(2)当k为偶数时,记k=2n(nZ),原式=,返回目录,当k为奇数时，记k=2n+1(nZ),原式=综上，原式=-1.,返回目录,(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,

12、都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值.(2)使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号,如果出现k的形式时,需要对k的值进行分类讨论,以确定三角函数值的符号.,返回目录,已知cos(+)=-,且是第四象限角,计算:(1)sin(2-);(2),【解析】cos(+)=-,-cos=-,cos=.又是第四象限角,sin=.,返回目录,(1)sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.(2),返回目录,考点6诱导公式在三角形中的应用,【分析】本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简,然后利用sin2+cos2=1,求出cosA的值,

13、再利用A+B+C=进行求解.,在ABC中，若sin(2-A)=-sin(-B),cosA=-cos(-B),求ABC的三内角.,返回目录,返回目录,(2)当cosA=-时，cosB=-.又A,B是三角形内角,A=,B=,不合题意.综上知,A=,B=,C=.,诱导公式在解三角形时应用广泛,注意其正确应用,特别是诱导公式的口诀要记熟会用.,返回目录,在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c边最长,并且sin2A+sin2B=1.(1)求证:ABC为直角三角形;(2)当c=1时,求ABC面积的最大值.,【解析】(1)证明:c边为最长边,A,B均为锐角.由sin2A+sin2B=1得si

14、n2A=cos2B.sinA,cosB均为正数,sinA=cosB.sinA=sin(-B).,返回目录,又A,-B(0,),A=-B,A+B=,即C=.ABC为直角三角形.(2)ABC的面积S=ab=2ab(a2+b2).由于a2+b2=c2=1,S.当且仅当a=b=时，上式取等号.ABC面积的最大值为.,返回目录,同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法主要利用公式tanx=化成正弦、余弦函数;,返回目录,（2）和积转换法：如利用(sincos)2=12sincos的关系进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2(1+)=tan=.注意求值与化简后的结果