2017函数的性质资料.doc

1、2.2 函数的性质函数的基本性质n 1， 函数的奇偶性n （1） 函数的奇偶性的定义。n （2） 函数的奇偶性的判断与证明。n （3） 奇、偶函数图象的特征。n 2， 函数的单调性n （1） 函数的单调性的定义。n （2） 函数的单调性的判断与证明。n 复合函数的单调性n （3） 求函数的单调区间。3.函数的周期性 (1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何xD，都有x+T D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何xD，都有x+aD,x+bD,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(

2、x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。n (3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a c， bd时，f(x)不是周期函数4.函数图象的对称性一中心对称：(1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a

3、-x)(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x)或 f(a+x)=- f(a-x)(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点(a+b)/2,0)成中心对称.二轴对称：（1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。（）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a

4、+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x（a+b)/2对称.一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)= f(2a-x,y)， 则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称(3)反函数的图象n 函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；n 函数y=f(x)的图象与y=f-1 (x)的图象关于直线y=-x对称；n 设函数y=f(x)存在反函数，则其图象关于直线y=x对称的充要条件为 f(x) =f -1(x).函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：n 命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a b)对称，那么函数是以2(

5、a-b)为周期的周期函数。n 命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。n 命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。小结:n 关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮助记忆:(f可念虎, X可念司)n f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;n f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.n 方程坐标和折半, 符号一定要小心.n 双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.高考题例1.（95）已知y=loga(2-ax)

6、在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） (A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0.2)(D)2,+)n 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=n -f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（ ）n (A)0.5 (B)-0,.5(C)1.5(D)-1.5n 3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合。设ab0，给出下列不等式：n f(b)-f(-a)g(a)-g(-b) f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)n 其中成立的是（ ）n (A) (B) (C

7、) (D)练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,且存在反函数f-1(x),若f(4)=0,则f-1(4)= -2 (2005湖南)n 解:函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,则其反函数f-1(x)的图象关于点(2,1)对称,n 即f-1(4-x)=2-f -1(x).n 又f(4)=0,则f-1(0)= 4.n 在式f-1(4-x)=2-f -1(x)中令X=0得:n f-1(4-0)=2-f -1(0)=2-4=-2.n 竞赛试题n 4（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（ ）n (A)可能是(B)元素的

8、个数是偶数n (C)元素的个数是奇数n (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数n 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（ ）n (A)-a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a6（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。则f(x)是（ ） (A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10由f(20-x)=-f(20+x),f(x)

9、e 对称中心(20,0)故函数的周期为4(20-10).故f(-x)=f(40-x)=f20+(20-x)-f20-(20-x)=-f(x)n 7.（2004. 福建理）（本小题满分14分）n 已知f(x)=(2x-a)/(x2+2)(xR)在区间1，1上是增函数.n （）求实数a的值组成的集合A；n （）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.n 解: （）任设-1 x1x2 1,则n f(x1)-f(x2)=|x1| 1,|x2| 1, 2x1x2

10、-a(x1+x2) |2x1x2-a(x1+x2)| 2|x1x2 | + |a| |x1+x2 | 0,故2x1x2-a(x1+x2)-40,2x1x2-a(x1+x2)0。（）求f(1/2)及f(1/4)；（）证明f(x)是周期函数。（01高考）n 分析（）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=并应注意证明f(1/2)0.n (2)由命题得函数的周期为由周期性的定义证明9.（2004.江苏）已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 (x1-x2)2 (x1-x2) f(x1)-f(x2)和|f(x1)-f(x2)| |x1-x2 |，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足f(a0)=0 和b=a-f(a)()证明1 并且不存在b0 , a0，使得； f(a0)=0 ()证明:(b-a0)2 (1- 2)(a-a0