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1、大学物理练习册刚体定轴转动13转动惯量4-1有一直棒长为L,其中一半的质量为m1(均匀分布),另一半的质量为m2(均匀分布),如图4-1所示,求此棒对过端点O,并垂直于纸面的轴的转动惯量。解解:)7(12d2d2d2122/222/0212mmLxxlmxxlmmxJLLLm4-2求半径为R,质量为m的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体相切的线为轴,其转动惯量又为多少?解解:将球看成由许多薄圆盘组成,圆盘半径cosRr,厚度cosddRh对应的质量dcosdd332Rhrm薄圆盘对过球心轴的转动惯量为dcos21d21d552RmrJ25352/0552/025234158158dco
2、sd212mRRRmRRmrJ由平行轴定理,22225752mRmRmRmRJJ4-3两个质量为m、半径为R的匀质圆薄板和一根长为l=8R的细杆相连,如图4-3所示,求以下两种情况时,此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA的转动惯量。(1)忽略细杆质量;(2)细杆质量为M。解解:(1)由平行轴定理22251)2(212mRRlmmRJ(2)222267.6166451121mRmRmRMlJJ力矩和转动定律4-4如图4-4所示,一长为l,质量为m匀质细杆竖直放置,因受到扰动而倒下(设下端不滑动)。试求当细杆转到与竖直线成角时的角加速度和角速度。解解:sin2331sin22lgmllmgJMd
3、dddt,00dd,)cos1(3lg另解另解:机械能守恒,221)cos1(2Jlmg,)cos1(3lg4-5如图4-5所示,有一质量为m,长为l的均匀细杆,可绕水平轴O无摩擦地转动,杆的一端固定一质量为3m的小球A,OAl/4。开始时杆在水平位置,试求细杆由静止释放后绕O轴转动的角加速度。(不计小球大小)解解:cos2cos4)3(mgllgmmM,222231)4(121)4(3mllmmllmJAAlRR图4-3L/2L/2Om2m1图4-1O图4-5l/4lA图4-4l大学物理练习册刚体定轴转动14cos2331cos22lgmlmglJM4-6一均匀圆盘,质量为m,半径为R,可绕
4、通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动,如图4-6所示。圆盘与桌面间的动摩擦因数为,若用外力推动使其角速度达到0时,撤去外力,求(1)转动过程中,圆盘受到的摩擦力矩;(2)撤去外力后,圆盘还能转动多少时间?解解:(1)在距中心r处取一宽度为rd的圆环,该圆环所受的摩擦力大小为rrgfd2d该摩擦力对中心轴的力矩为rrgfrMd2dd2所以mgRRRmgrrgMR3232d23202(2)gRmRmgRJM3421322,gRt4300角动量和角动量守恒定律4-7水平桌面上放有一根长l=1.0m,质量m=3.0kg的匀质细杆,可绕通过端点O的垂直轴OO转动,开始时杆静止。现有100N的力,以与杆
5、成=30o的角打击杆的一端,打击时间t=0.02s,如图4-7所示。求(1)杆的角动量的变化;(2)杆转动时的角速度。解解:(1)冲量矩为/smkg102.05.01001d30sind202.0002.00tlFtMoo由刚体定轴转动定律/smkg1d200tootMJJJL(2)rad/s33112mlJL4-8上题中细杆被一颗质量m=20g的子弹以30的角射中中点,如图4-8所示。已知杆与桌面的动摩擦因数=0.20,子弹射入速度v=400m/s,并以v/2的速度射出。求:(1)细杆开始转动的角速度;(2)细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少?(3)细杆转过多大角度后停下来。解解:(
6、1)子弹射入前后系统对O点角动量守恒Jvmlvml30sin22130sin21rad/s311840002.0383318130sin412mlvmmlvmlJvml(2)rlmmdd,mgfdd,rrlmgmgrfrMddddmglrrlmgMl21d0,22rad/s94.2128.92.03233121lgmlmglJM图4-6lmOOF图4-7lmOOmv图4-8大学物理练习册刚体定轴转动15(3)ddddt,00dd,rad53.194.2232224-9在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上,站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半
7、径为R2(R2R1)的圆周,以相对于圆盘的速度为v匀速走动时,则圆盘将以多大的角速度旋转?解解:设圆盘以角速度旋转,则人相对于地面的角速度为2Rv系统对圆盘中心轴的角动量守恒0JJ,0)(2122221RvmRmR,22212222122221RRvRRRvR功和能4-10如图4-10所示。滑轮的转动惯量J0.5kgm2,半径r30cm,弹簧的劲度系数k2.0Nm,重物的质量m=2.0kg,开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动,物体沿斜面滑下1.0m时,求:(1)物体的速率多大?(2)物体滑下1.0m过程中,作用在滑轮上的力矩所作的功。(不计斜面和转轴的摩擦)解解:(1)系统机械能守恒3
8、0sin212121222mgxmvJkx,rvm/s53.13.05.0210.25.08.912230sin22222rJmkxmgxv(2)J5.63.053.15.021212121222202JJJA4-11长l0.40m的均匀木棒,质量M1.0kg,可绕水平轴O在竖直平面内转动,开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量m8g的子弹,以v200ms的速率从A点射入棒中,假定A点与O点的距离为l43,如图4-11所示。求:(1)棒开始运动时的角速度;(2)棒的最大偏转角。解解:(1)子弹射入前后系统对O点的角动量守恒Jlmv43,22222mkg054.04.0169008.04.0131)43(31lmMlJrad/s89.8054.04.0200008.04343Jmvl(2)设棒最大偏转角为,由机械能
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