辅助圆解决中考压轴题

1、辅助圆25（12分）（2014陕西）问题探究（1）如图，在矩形abcd中，ab=3，bc=4，如果bc边上存在点p，使apd为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形apd，并求出此时bp的长；（2）如图，在abc中，abc=60，bc=12，ad是bc边上的高，e、f分别为边ab、ac的中点，当ad=6时，bc边上存在一点q，使eqf=90，求此时bq的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形abcde，山庄保卫人员想在线段cd上选一点m安装监控装置，用来监视边ab，现只要使amb大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知a=e=d=90，ab=270m，ae=400

2、m，ed=285m，cd=340m，问在线段cd上是否存在点m，使amb=60？若存在，请求出符合条件的dm的长，若不存在，请说明理由考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题：压轴题；存在型分析：（1）由于pad是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以ef为直径作o，易证o与bc相切，从而得到符合条件的点q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出bq长（3）要满足am

3、b=60，可构造以ab为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段cd的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的dm长解答：解：（1）作ad的垂直平分线交bc于点p，如图，则pa=pdpad是等腰三角形四边形abcd是矩形，ab=dc，b=c=90pa=pd，ab=dc，rtabprtdcp（hl）bp=cpbc=4，bp=cp=2以点d为圆心，ad为半径画弧，交bc于点p，如图，则da=dppad是等腰三角形四边形abcd是矩形，ad=bc，ab=dc，c=90ab=3，bc=4，dc=3，dp=4cp=bp=4点a为圆心，ad为半径画弧，交bc

4、于点p，如图，则ad=appad是等腰三角形同理可得：bp=综上所述：在等腰三角形adp中，若pa=pd，则bp=2；若dp=da，则bp=4；若ap=ad，则bp=（2）e、f分别为边ab、ac的中点，efbc，ef=bcbc=12，ef=6以ef为直径作o，过点o作oqbc，垂足为q，连接eq、fq，如图adbc，ad=6，ef与bc之间的距离为3oq=3oq=oe=3o与bc相切，切点为qef为o的直径，eqf=90过点e作egbc，垂足为g，如图egbc，oqbc，egoqeogq，egoq，egq=90，oe=oq，四边形oegq是正方形gq=eo=3，eg=oq=3b=60，egb

5、=90，eg=3，bg=bq=gq+bg=3+当eqf=90时，bq的长为3+（3）在线段cd上存在点m，使amb=60理由如下：以ab为边，在ab的右侧作等边三角形abg，作gpab，垂足为p，作akbg，垂足为k设gp与ak交于点o，以点o为圆心，oa为半径作o，过点o作ohcd，垂足为h，如图则o是abg的外接圆，abg是等边三角形，gpab，ap=pb=abab=270，ap=135ed=285，oh=285135=150abg是等边三角形，akbg，bak=gak=30op=aptan30=135=45oa=2op=90ohoao与cd相交，设交点为m，连接ma、mb，如图amb=a

6、gb=60，om=oa=90ohcd，oh=150，om=90，hm=30ae=400，op=45，dh=40045若点m在点h的左边，则dm=dh+hm=40045+3040045+30340，dmcd点m不在线段cd上，应舍去若点m在点h的右边，则dm=dhhm=40045304004530340，dmcd点m在线段cd上综上所述：在线段cd上存在唯一的点m，使amb=60，此时dm的长为（4004530）米点评：本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函

7、数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键25（12分）（2015陕西）如图，在每一个四边形abcd中，均有adbc，cdbc，abc=60，ad=8，bc=12（1）如图，点m是四边形abcd边ad上的一点，则bmc的面积为24；（2）如图，点n是四边形abcd边ad上的任意一点，请你求出bnc周长的最小值；（3）如图，在四边形abcd的边ad上，是否存在一点p，使得cosbpc的值最小？若存在，求出此时cosbpc的值；若不存在，请说明理由考点：四边形综合题.专题：综合题分析：（1）如图，过a作aebc，可得出四边形aecf为矩形，得到ec=

8、ad，be=bcec，在直角三角形abe中，求出ae的长，即为三角形bmc的高，求出三角形bmc面积即可；（2）如图，作点c关于直线ad的对称点c，连接cn，cd，cb交ad于点n，连接cn，则bn+nc=bn+ncbc=bn+cn，可得出bnc周长的最小值为bnc的周长=bn+cn+bc=bc+bc，求出即可；（3）如图所示，存在点p，使得cosbpc的值最小，作bc的中垂线pq交bc于点q，交ad于点p，连接bp，cp，作bpc的外接圆o，圆o与直线pq交于点n，则pb=pc，圆心o在pn上，根据ad与bc平行，得到圆o与ad相切，根据pq=dc，判断得到pq大于bq，可得出圆心o在bc上

9、方，在ad上任取一点p，连接pb，pc，pb交圆o于点m，连接mc，可得bpc=bmcbpc，即bpc最小，cosbpc的值最小，连接ob，求出即可解答：解：（1）如图，过a作aebc，四边形aecd为矩形，ec=ad=8，be=bcec=128=4，在rtabe中，abe=60，be=4，ab=2be=8，ae=4，则sbmc=bcae=24；故答案为：24；（2）如图，作点c关于直线ad的对称点c，连接cn，cd，cb交ad于点n，连接cn，则bn+nc=bn+ncbc=bn+cn，bnc周长的最小值为bnc的周长=bn+cn+bc=bc+bc，adbc，aebc，abc=60，过点a作aebc，则ce=ad=8，be=4，ae=betan60=4，cc=2cd=2ae=8，bc=12，bc=4，bnc周长的最小值为4+12；（3）如图所示，存在点p，使得cosbpc的值最小，作bc的中垂线pq交bc于点q，交ad于点p，连接bp，cp，作bpc的外接圆o，圆o与直线pq交于点n，则pb=pc，圆心o在pn上，adbc，圆o与ad相切于点p，pq=dc=46，pqbq，bpc90，圆心o在弦bc的上方，在ad上任取一点p，连接pb，pc，pb交圆o于点m，连接mc，bpc=bmcbpc，bpc最大，cosbpc的值最小，连接ob，则bon=2bpn=bpc，