第二章-信号和系统的数学描述及性质.ppt

1、数字信号处理,电气信息工程学院 蔡超峰,第二章 信号和系统的数学描述及性质,信号的数学描述和分类 系统的数学描述和分类 信号的基本运算 基本的连续信号和离散信号 信号的大小 信号的相关函数 系统的连接方式 系统的性质,1. 信号的数学描述和分类,信号的数学描述：信号是信息的表现形式或载体，在极为广泛的一类物理现象和事物运动过程中，它反映的是各种物理量或数量的变化。信号所包含的信息就蕴藏在这些物理量或数量的变化中。因此，信号可用一个或多个自变量的函数来描述。 信号的分类：从信号的数学描述出发，信号包括 连续信号和离散信号（模拟信号和数字信号） 周期信号和非周期信号 确定信号和随机信号 一维信号和

2、多维信号 能量信号和功率信号 ,连续信号：信号的自变量是连续可变的，即信号在其自变量的一个连续范围（实数区间上）都有定义。离散信号：信号的自变量仅在一组离散值上取值，即信号仅在离散的时刻上有定义。,1. 信号的数学描述和分类,连续信号 离散信号,1. 信号的数学描述和分类,模拟信号：自变量和信号值均连续。 数字信号：自变量和信号值均离散。,156 159 158 155 158 160 154 157 158 157 156 159 158 155 158 160 154 157 158 157 156 153 155 159 159 . . .,256,256,1. 信号的数学描述和分类,周

3、期信号：信号值随自变量重复变化的信号。非周期信号：不满足周期信号定义的信号。,T,1. 信号的数学描述和分类,确定信号：信号在任意时刻的值能够被精确地确定。随机信号：不满足确定性信号定义的信号。随机信号又可分为平稳随机信号和非平稳随机信号，平稳随机信号又可分为各态遍历信号和非各态遍历信号。,确定信号 随机信号,1. 信号的数学描述和分类,一维信号：用一个自变量的函数表示的信号称为一维信号。多维信号：用多个自变量的函数表示的信号称为多维信号。,1. 信号的数学描述和分类,信号 x(t) 和 x(n) 的能量分别定义为： 如果 E，则称 x(t) 和 x(n)为能量信号。 功率信号： 信号 x(t

4、) 和 x(n) 的功率分别定义为： 如果 P，则称 x(t) 和 x(n) 为功率信号。,能量信号：,2. 系统的数学描述和分类,系统的数学描述： 输入输出描述 状态变量描述,埃农映射（hnon map）,2. 系统的数学描述和分类,系统的分类： 连续时间系统、离散时间系统和混合系统 单输入输出系统和多输入输出系统 一维系统和多维系统,x(n),y(t),3. 信号的基本运算,信号的基本运算： 数乘运算 相加运算 相乘运算 连续时间微分和离散时间差分运算 连续时间积分和离散时间累加运算 信号的反转 信号的时移 信号的尺度变换 ,数乘运算： 相加运算： 相乘运算：,3. 信号的基本运算,微分运

5、算： 差分运算： 积分运算： 累加运算：,3. 信号的基本运算,（后向差分）,反转： 时移：,3. 信号的基本运算,0,0,t,x(t),x(-t),t,0,t,x(t-t0),尺度变换： 例如：,（内插）,（抽取）,3. 信号的基本运算,0,t,a = 0.5,（抽取）,（内插）,a = 2,需要说明两点： 第一，上面介绍的自变量的变换只牵涉到一个自变量的变换。对于多维信号，也可以定义一个或多个自变量的变换。图像处理中经常涉及到多维自变量变换的信号变换问题。 第二，上面介绍的自变量的变换均属线性变换，还可以定义自变量的非线性变换，例如：,3. 信号的基本运算,4. 基本的连续信号和离散信号,

6、单位阶跃信号:,注意：当 t = 0 时，u(t) 没有定义；而当 n = 0 时，u(n) 有确定的值1。,由于 u(t) 和u(n) 分别在 t0 和 n0 均为单位值，因此利用它们可以表示许多有始信号，以及把一些用分段表达式表示的信号归纳成一个闭合表达式。用u(t) 或 u(n)表示下列信号：,4. 基本的连续信号和离散信号,n,连续时间单位冲激信号 (t) 的两种定义: 极限形式定义 狄拉克函数定义,4. 基本的连续信号和离散信号,离散时间单位冲激序列 (n) :,又称为单位抽样序列。,单位冲激信号和序列的性质： 具有单位面积，即 均为偶信号，即 筛分性质 这表明任何 x(n) 与 (

7、n-n0) 相乘，所产生的仍是一个冲激序列，不过此冲激序列在 n=n0 处的值为 x(n0)。连续情况下：,4. 基本的连续信号和离散信号,考察单位冲激与单位阶跃之间的关系。离散情况下有： 这表明 (n) 是 u(n) 的一阶差分， u(n) 是 (n) 的一次累加。 连续情况下： 这表明 u(t) 是 (t) 的滑动积分， (t)是 u(t) 的一阶导函数。,4. 基本的连续信号和离散信号,复指数信号:,实指数信号：,4. 基本的连续信号和离散信号,x(t) = est,s = 0,s 0,s 0,复指数信号:,2. 复正弦信号：,4. 基本的连续信号和离散信号,ejt 和 ejn 的区别:

8、 对于任何的， ejt 都是周期信号，周期为2/|； ejn 则不然，只有当/2为有理数时， ejn才是周期序列。,解释： 若 ejn 是周期序列，必须存在一个正整数N，使得下式成立：,必须有ejN= 1，则 N必须是2的整数倍，即必须有一个正整m 满足： 考察：cos(n/6)、cos(2n/31)、cos(n/6)是否为周期序列？,4. 基本的连续信号和离散信号,或,对于每一个不同的 ， ejt 都是不相同的周期信号，而且 越大， ejt 的振荡频率越高；但 ejn 并非如此，因为有： 因此，在任何 2 区间内的 ejn就包含所有不同的复正弦序列，在研究这种复正弦序列时，只要在 的某个 2

9、 区间内考察即可，一般选这个区间为 - 或者 0 2，称为主值区间。,难点： T、f、 和 的区别和联系。,4. 基本的连续信号和离散信号,复指数信号:,3. 一般复指数信号：,4. 基本的连续信号和离散信号, 0, 0,5. 信号的大小,常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，即所谓信号的范数。若信号 x(t) 和 x(n) 分别满足： 则它们是模可积的及模可和的，其一阶范数定义为： 然而，若 x(t) 和 x(n) 是有界的非模可积与模可和信号，其一阶范数定义为如下极限：,5. 信号的大小,若信号 x(t) 和 x(n) 分别满足： 则它们是模平方可积的及模平方可和的，其二阶范数定义为

10、： 然而，若 x(t) 和 x(n) 不满足模平方可积与模平方可和，二阶范数也需要极限形式来定义：,5. 信号的大小,信号 x(t) 和 x(n) 的无穷范数定义为：,5. 信号的大小,根据能量、功率和二阶范数的定义可知，对于模平方可积与模平方可和的信号x(t) 和 x(n)而言，能量等于二阶范数的平方，即： 对于不满足模平方可积与模平方可和的信号x(t) 和 x(n)而言，功率等于二阶范数的平方，即：,6. 信号的相关函数,如果 x(t) 与 y(t)、 x(n) 与 y(n) 分别是连续时间和离散时间的能量信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：,x(t) 和 x(n) 与 其自身

11、的互相关函数和序列分别称为 x(t) 和 x(n)的自相关函数：,6. 信号的相关函数,如果 x(t) 与 y(t)、 x(n) 与 y(n) 分别是连续时间和离散时间的功率信号，则它们的互相关函数、互相关序列分别定义为：,x(t) 和 x(n) 与 其自身的互相关函数和序列分别称为 x(t) 和 x(n)的自相关函数：,6. 信号的相关函数,对于周期分别为 T 和 N 的周期信号 x(t) 与 x(n)而言，它们的自相关函数和序列分别为： 它们分别仍是周期 T 和 N 的周期信号。,相关函数的计算方法。 图解法 解析法 习题：试求序列 的自相关序列rx(m)。,6. 信号的相关函数,6. 信

12、号的相关函数,自相关函数的性质： 性质1 若 x(t)、 x(n) 是复信号，则rx () 、rx (m) 共轭偶对称： 若 x(t)、 x(n) 是实信号，则rx () 、rx (m) 偶对称，即： 性质2 rx ()、rx (m) 在 = 0、 m = 0时取得最大值： 性质3 若 x(t)、 x(n) 是能量信号，则有：,6. 信号的相关函数,互相关函数的性质： 性质1 rxy () 、ryx (m) 不是偶函数，但有: 性质2 rxy () 、ryx (m) 满足： 性质3 若 x(t) 、 x(n) 是能量信号，则有：,6. 信号的相关函数,利用自相关函数检测信号中隐含的周期性： 设

13、记录到的信号x(n)由真正的信号s(n)和白噪声u(n)组成，即有x(n)=s(n)+u(n)。假定s(n)是周期的，周期为M，x(n)的长度为N，且NM，那么x(n)的自相关 式中rus(m)和rsu(m)是s(n)和x(n)的互相关，一般噪声是随机的，和信号s(n)无相关性，因此这两项很小。式中ru(m)是噪声的自相关函数，主要集中m=0在处有值，当|m|0时衰减很快。因此，若s(n)是以为M周期的，那么rs(m)也应该是周期的，且周期为M 。这样，rx(m)也将呈现周期变换，且在m=0,M,2M,处呈现峰值，从而揭示隐含在x(n)中的周期性。由于x(n)总为有限长，所以这些峰值是逐渐衰减

14、的。,6. 信号的相关函数,利用互相关函数检测信号的相关性：,7. 系统的连接方式与系统的等价和等效,系统的连接方式： 级联 并联,x1(n),系统T1,y(n),x(n),系统T2,x2(n),y1(n),y2(n),反馈,8. 系统的性质,系统的主要性质： 无记忆性和记忆性：对于任意的输入信号，如果每一时刻系统的输出信号值只取决于同一时刻的输入信号值，则该系统就具有无记忆性，称为无记忆系统，否则称为有记忆系统。例如，数乘器、相乘器、相加器是无记忆系统，而积分器、累加器等是有记忆系统。 因果性和非因果性：对于任意的输入信号，如果系统在任何时刻的输出信号值，只取决于该时刻和该时刻以前时刻的输入

15、信号值，而与将来时刻的输入信号值无关，该系统就具有因果性，称为因果系统，否则该系统就是非因果的。例如，积分器、累加器、一阶后向差分器是因果性系统，而一阶前向差分器是非因果系统。,8. 系统的性质,关于因果性的讨论： 因果性体现了现实世界的因果原则，即在任何现象中，总是原因在前，结果在后。在真实时间变量的系统中，因果性是系统设计和实现的一个关键特性。 研究非因果系统并非没有意义。一方面，如果自变量不是真实的时间变量，上述限制就失去了作用；另一方面，就算自变量是真实的时间变量，也可以采用非因果处理。 无记忆系统一定是因果系统，但有记忆性系统未必都是非因果系统，也可能是因果系统。,8. 系统的性质,

16、可逆性：如果一个系统对每一个不同的输入信号都产生不同的输出信号，换言之，根据系统的输出信号可以唯一地确定它的输入信号，这样的系统称为可逆系统。 稳定性：当系统的输入为有界信号时，输出也是有界的，则该系统是稳定的，称为稳定系统，否则为不稳定系统。例如，数乘器、相乘器、相加器是稳定系统，而积分器、累加器是不稳定系统。,8. 系统的性质,时不变性：在一个系统中，如果任何输入信号在时间上任意的时移，都导致其输出信号产生相同的时移，即满足 则这样的系统具有时不变性，称为时不变系统。,线性：如果系统满足可加性和齐次性： 则这样的系统称为线性系统。,8. 系统的性质,线性系统一个重要的性质：零输入信号必然产

17、生零输出信号。例如，一个离散时间系统 x(n) y(n) ，根据比例性有： 但反之则不然，即零输入产生零输出的系统，不一定是线性系统。因此不能用零输入产生零输出来判断系统的线性，倒可以用零输入不产生零输出来否定系统的线性。,增量线性系统：不能认为输入输出信号变换关系是线性方程描述的系统就是线性系统。例如，线性方程： 表述的系统就不是线性系统，因为零输入不产生零输出。对于这类系统，任意两个输出信号之差信号是相应两个输入信号之差信号的线性变换，通常称为增量线性系统。,8. 系统的性质,线性时不变系统：通常把既满足线性，又满足时不变性的系统称为线性时不变系统（Linear Shift Invariable）,简称 LSI 系统。LSI 系统具有如下特征： 线性使得 LSI 系统具有叠加性，时不变性使得LSI系统的输出信号的函