第二换元积分法

1、第二节 换元积分法,本节内容提要,一、第一类换元积分法（凑微分法）,二、第二类换元积分法,教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类 换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分 重点： 凑微分法、根式置换法求不定积分 难点： 凑微分法求不定积分 教学方法：启发式 教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合 教学课时：6课时,返回,第二节 换元积分法,引例：求 解: 错在哪里？,一、第一类换元积分法（凑微分法）,定理1、若 则 这种将 利用中间变量 化为 ，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将 还原成 的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。,这里将 凑微分

2、成du是难点，理解起来较困难，我们这样处理：dx= 故,例1：求 解：设u=2x,我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下：,、被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，,例2：求 解：设 则,在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下： 解： =,例3求 解：,练习：求下列不定积分 1、 2、 3、 4、,、 被积函数是两个函数乘积形式 1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。,例1、求 解：,例2、求 解： =,例3、求

3、 解,例4、求 解：,例5、求 解：,练习：求下列不定积分 1、 2、 3、 4、 5、,2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。,例1求 解,例2求 解,例3求 解,例4求 解,例5求 解,例1、,例6求 解,练：求 1、 2、 3、 4 、 5、 6、,第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式 ，应理解为 ，其中u可以 是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。,（1） (2) (3)

4、(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11),常用的凑微分形式有：,例：求,解：方法一： 方法二： 方法三：,上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。,使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。,例1求,练习：求,例2求： 解：,练习：,例3求：,练习： ,例4 求：,练习：求,例5求：,练习：求 ,例6 求：,练习：求,例7 求：,练习：求,例8 求：,练习：求,练习 求 ,二、第二类换元积分法 定理2：设 是单调可微函数，且 若 则：,下面通过例题说明第二

5、类换元积分的应用。,、被积分函数中含有 类型-根式置换法,例1：求 解：设 ,则,注意：在最后的结果中必须代入 ,返回到原积分变量 . 练习： ,返回,例2求 解：被积函数含 、 ，为了去掉根号，设t= 则 x=,练习：求,例3求 解：设 则,1、 、 被积分函数中含有 类型-三角置换法,例1 求 解 设 则,例2、求 解 设 则,为了返回原积分变量，可由 作出辅助三角形如图 由图可得 其中,空,例3、求 解 设 则 与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图 由图可得： 其中,空,第二类换元积分法是基本积分方法之一，使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换，消除被积式中的根号，最常见的形式有： （1）被积函数中含有： 设 （2）被积函数中含有： 设 , 为 、 的最小 公倍数 （3）被积函数中含有： 设 （4）被积函数中含有： 设