七数培优竞赛讲座第2讲 跨越——从算术到代数

1、第二讲 跨越从算术到代数 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用 例题【例1】观察下列等式 9l=8， 16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： (河南省中考题) 思路点拨

2、在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律注：从个别事物中发现一般性规律这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。【例2】 某商品2002年比2001年涨价5，2003年又比2002年涨价10，2004年比2003年降价12，则2004年比2001年( ) 九涨价3 B涨价164 C涨价12 D降价12 (“TRUIY信利杯”竞赛题) 思路点拨 设此商品2001年的价格为元，把相应年份的价格用的代数式表示，由计算作出判断 例3】 计算 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算 【

3、例4】 有张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经次分割后，共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？1913 思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条

4、件注： 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求” 学力训练1给出下列算式： l2+1=12，22+2=23， 3

5、2 +3=34， 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： (福州市中考题)2已知：，若 (为正整数)，则a+b= (2003年武汉市中考题)3若（m十n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要 天 (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)4某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 (河南省竞赛题)5一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天 A B C. D6某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份

6、比一月份增加10，三月份比二月份减少10，那么三月份比一月份( ) A增加10 B减少10 C不增不减 D减少1 (河南省中考题)7如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( ) Abc-ab+ac+c2 Bab-bc-ac+c2 Ca2 +ab+bc-ac Db2-bc+a2-ab河北省中考题) 8为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是( ) AS1S2 BSl0)，用表示三角形ABC的面积为 (“希望杯”邀请赛试题)13

7、已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 14用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第n个图案中有白色地面砖 块 (2003年南昌市中考题)15下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ) A162738,t950 B2345678910 C 3579111300 D4692581470 (江苏省竞赛题)16给出两列数：l，3，5，?，9，2001和1，6，1l，16，21，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( ) A199 B200 C 201 D202 (重庆市竞赛题)1

8、7种商品每件进价为a元，按进价增加25定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( ) A0.125a B0.15a C0.25a D1.25a (山东泰安市中考题)18如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小时数是( ) A B C D19已知 (n=l，2，3，2002)求当时， 的值20在次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品则可买80份奖品问这 笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少? (湖北省黄冈

9、市竞赛题)，22阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各类家庭的思格尔系数如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕6050n604050304030 根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元 求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? (2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数