中考数学中有关二次函数题型

1、中考数学中有关二次函数题型浅谈数学思想方法的教学合肥市第二十中学 朱小龙摘要：有关二次函数的数学试题在历年中考考题中频繁出现，受到学生和老师的普遍关注二次函数相关问题渗透了函数方程、转化与化归、数形结合和分类讨论等众多数学思想这篇文章先就2010年中考题的两道试题做探讨，在此基础上，讨论运用数学思想方法解决二次函数相关问题.同时，就教学中怎样开展数学思想方法的教学提出一些实施意见关键词：数学思想方法 二次函数 中考考题 引言：数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体

2、现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的.通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓，从而提升解题能力，切实提高学习成绩.1、 2010年安徽中考两道二次函数试题 1.1 （2010年安徽中考试题第7题）若二次函数配方后为则、的值分别为 （ ）（4分）A）0，5 B）0，1 C）4，5 D）4，1本题主要考察二次函数的解析式类型的相互转化，答案选D解法有以下两种：解法一：根据二次函数对称轴为，这里，又顶点式对称轴为，所以 即， 则解法二：顶点式中完全平方式展开后，即

3、为一般式 所以 解得 1.2 （2010年安徽中考试题第22题）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的方法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第天（且为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价（元/kg）20单位捕捞成本（元/kg）捕捞量（kg）（1） 在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天捕捞量相比是如何变化的？（2） 假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第天的收入（元）与（天）之间的函数关系式；（当天收入=日销售额日捕捞成本）（3） 是说明（2）中的函数随的变化情况，并指

4、出第几天取得最大值，最大值是多少？分析：这道题结合了一次函数，二次函数一起来考的，从简单的一次函数的性质因变量随自变量的变化而变化的情况，到根据题意列出二次函数，考察二次函数相关性质，解题难度是循序渐进（这里运用了函数方程、整体思想和分类讨论思想等）.（1）解：该养殖场每天的捕捞量与前天捕捞量相比每天减少了10kg (2分)（2）解：由题意，得 (7分)（3）解：， (9分)又且为整数，当时，随的的增大而增大；当时，随的的增大而减小；当时即在第10天，取得最大值，最大值为14450元. (12分)2 运用相关数学思想方法解决二次函数相关问题 2.1（2009年安徽中考试题第23题）已知某种水果

5、的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义金额w（元）O批发量m（kg）300200100204060O6240日最高销量（kg）80零售价（元）第23题图（2）48（6，80）（7，40）O60204批发单价（元）5批发量（kg）第23题图（1） （2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变

6、，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大分析：数形结合思想、分类讨论思想解决一次函数二次函数综合应用题（1）解：图表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；3分图表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发金额w（元）O批发量m（kg）3002001002040602403分（2）解：由题意得：，函数图象如图所示 7分由图可知资金金额满足240w300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8分（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量当m60时，x6.5由题意，销售利润为12分当x6时，此时m80即经销商应批发80kg该

7、种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分解法二：设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p满足：，于是销售利润12分当x80时，此时p6即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分2.2（2009年安徽中考试题第21题）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由x（米）y（米）BCO第21题图分析：这一题函数性质的简单应用，主要考察

8、函数解析式的变换和数形结和思想解答略3、开展数学思想方法的教学的一些实施意见3.1 根据新课程教学目标，对教材进行教学思想方法的教学研究通过对教材详细完整的分析，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局.然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律.如二次函数这一章，函数的概念回顾、二次函数概念、二次函数图像及性质、二次函数与一元二次方程以及二次函数的应用.这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些知识和方法方法，按知识方法思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决千变万化的问题.又如：结合初中代数的消元、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳和

9、数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络.3.2 根据知识内容，将数学思想方法渗透到教学各个环节中 通过教学目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的生成和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化.在教学情境设计中要充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础.数学思想方法是对数学问题通过数学建模建立纯数学模型，它源于现实原型又高于现实原型，与此同时，借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握.例如：函数与方程思想体现了函数、方程、不等式

10、间的相互转化；分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中，体现了局部与整体的相互转化，在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结.教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想. 3.3通过习题课教学，灵活运用数学思想方法在解决实际问题时，要充分运用图解分析法、亲身体验法和直观分析法等方法分析题意进行数学建模.习题课教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和习题进行.首先，在解题和反思活动中，从具体数学问题中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想；其次，在解题过程

11、中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题.最后，要引导学生把握知识的整体结构，形成合理的数学模型，通过综合运用数学思想方法，融会贯通各知识点和单元，建立一个以实例和习题（确实能够锻炼和培养学生思维的教学事件）为中心的知识网络，纵向加深知识层次，横向联系以发展思维能力，形成全局性的数学思想方法.图中D为数学事件（典型的实例和习题）3.4 引导学生“想着学数学” 全国著名数学特级教师俞正强说过这样一句话， 学生“记着学数学”与“想着学数学”结合起来才有学习兴趣. “想着学数学”就是数学思想的形成和发展过程.学生在学习数学，运用数学思维解决问题过程中，教师要把思维空间让给学生，