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文档简介

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac，ad垂直bc， d、e是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，o是abc的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平

2、分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）a外心 b内心 c重心 d垂心分析：如图所示，分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ b ）a外心 b内心 c重心 d垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）a外心 b内心 c重心 d垂心 分析：如图所示ad垂直bc，be垂直ac， d、e是垂

3、足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）a2 b c3 d62若的外接圆的圆心为o，半径为1，则( )a b0 c1 d3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）a0 b c d4的外接圆的圆心为o，若，则是的（ ）a外心 b内心 c重心 d垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）a外心 b内心 c重心 d垂心6的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)=0且= , 则abc为( )a三边均不相等的三角形 b直角三角形c等腰非等边三角形 d等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）a等腰三角形

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