斜率等积面积定值--几道同源高考试题的探究

1、图 7 图 8 图 9 由盛金定理得 ： 只有当 b ac （a b ）（a b ） 成立 ， 并有三个 实数解 化简得 ： a b 借助几何画板可以验证得出该结论的正 确性 ， 如图（）（）（）所示 ： 通过 可得当宽 长之比满足 ： a b 条件时 ， 四边形 epfq 可 以是矩形 ， 并且点 p 有三 个不同位置 ， 即对应的一 元三次方程有三个不同 的实数根 原题是初中平面几何 中的一道几何证明题 ， 难 度不大 ， 考查基本的四边 形 、 平行四边形 、 矩形以及 三角形全等等知识 学习 的最终目的是运用已有知 识去发现探究更多的未知 领域 这就需要我们能发现问题并主动提出问 题

2、， 进而分析问题并解决问题 参考文献 邵泉成 高中生数学学习与数学思维方法探究j 成 才之路 ，（） ： 王永 论中学生数学思维方法的培养j 魅力中国 ， （） ： （收稿日期 ： ） 斜率等积 面积定值 几道同源高考试题的探究 山东省单县第一中学 卫小国 （邮编 ： ） 安徽省太和中学 韩长峰 （邮编 ： ） 研究 年北京大学自主招生试题第 题 ， 感觉问题似曾相识 ， 经过探寻发现在近年高 考中类似问题有 年上海卷文科第 题理 科第 题 、 年福建卷理科第 题 笔者经 过解析高考试题 、 揭示问题背景 、 反思结论推广 ， 终得圆锥曲线中在一定条件下“两直线斜率等积 时 ， 面积为定值”的

3、性质 ， 笔者现成文以供研讨 1 典题解析 （ 上海卷文科第 题）已知椭圆 x y ，过原点的两条直线 l和 l分别交椭圆 于点 a 、b和 c 、d 记 aoc 的面积为 s （） 设 l和 l的斜率之积为 m ，求 m的值 ， 使得无论 l和 l如何变动 ， 面积 s 保持不变 解析 设直线 l的斜率为 k ，则直线 l的斜 率为 m k ，设 直 线 l： y kx ，联 立 方 程 组 y kx x y 消去 y 解得 x k ，根 据对称性 ， 不妨设 x k ，则 y k k 同理可 得 x k k m ，y m k m ， 所以 s | x y x y| | m k | （ k

4、）（k m ） 设 m k （ k ）（k m ） c（常数） ， 则 （m k ） c （k k m k m ） ， 整理得 k mk m c k （ m ）k m ， 由于等式对任意 m恒成立 ， 故 年第 期中学数学教学 万方数据 c ， c （ m ） m ， 解得 c ， m 评注 此题属高考热点问题之一的存在性 问题 ， 试题常以“是否存在”的形式出现而且结论 不确定 ； 问题常常需要由给定的题设条件探寻结 论 ， 或由问题追溯相应的条件 本题中关键是转 化为恒成立问题 ， 利用待定系数的方法确定 c 和 斜率之积 m 的值 2 背景探源 笔者反观解题过程 ， 因其中过原点的两直线

5、 斜率之积是 b a ；不由疑惑面积为定值是巧合还 是规律 ， 遂展开深究 ， 经过推理论证 ， 厘清了试题 的背景 结论 1 椭圆 x a y b （a b ） ，过原 点的两条直线 l和 l分别交椭圆于点 a 、b 和 c 、d 则 l和 l的斜率之积为 b a 是 saoc ab 的充要条件 证明 在仿射变换 x x a y y b 下 ， 椭圆变为 圆 x y （）充分性 因为 l和 l的斜率之积为 b a ，所以仿射 变换后直线 l与 l的斜率之积为 因此 ， aoc为等腰 rt ，且腰长为 ， 则 s aoc absaoc ab （）必要性 当 saoc ab 时 ， 仿射变换后

6、aoc 在 x y 中为等腰 rt ，且以半径为腰 ， 当 ao， co的斜率之积为 时 ， 则 l和 l的 斜率之积为 b a 故得证 反思 椭圆中的这对两直线 oa 、oc 斜率为 等积 b a 时 ， 则 aoc 面积为定值 ab 而圆 锥曲线中一般性质是相似的 ， 此结论是否在其他 圆锥曲线中也成立 不难论证在圆 x y 中 ，oa 、oc 斜率 等积 与 saoc 也成立 3 推广释疑 结论推广 ， 自招佐证 圆与椭圆的封闭特点 ， 以上结论是统一的 ； 虽双曲线有所不同 ， 但同样具备两相交直线斜率 等积 ， 面积为定值 高考中也有考查此类同源问 题 ， 仅是命题形式有变 （ 年福

7、建卷理科第 题）已知双曲线 e ：x a y b （a ， b ）的两条渐近线分别 为 l： y x ，l： y x （）动直线 l 分别交 直线 l、l于 a 、b 两点（a 、b 分别在第一 、四象 限） ， 且oab 的面积恒为 ， 试探究 ： 是否存在 总与直线 l有且只有一个公共点的双曲线 e ？ 若 存在 ， 求出双曲线 e 的方程 ； 若不存在 ， 说明 理由 文对此题已有详细的解析 ， 但笔者将结 论进一步证明与推广 ： 结论 2 已知两定直线 l： y kx ，l： y kx k ，o为坐标原点 ， 动直线 l分别交直 线于 a 、b （点 a 、b 分别在第一 、 四象限）

8、且线段 ab 的中点为点 c ，则 oab 的面积为定值 k 的充要条件为中点 c的轨迹方程为 x y k ，且直线 l 总与双曲线有且只有一个公共点 （其中 k b a ， saob ab ， 也满足） 上述的结论即是 年北大自主招生试题 的题根 ， 自招试题为 ： 从 o出发的两条射线 l、l，已知直线交 l、 l于 a 、b两点 ， 且 saob c （ c为定值） ， 记 ab 的中点为 x ，求证 ：x 的轨迹为双曲线 证明 设 为 l、l的夹角 ， 以 o 为原点 ， l、l的角平分线为 x 轴 ， 建立直角坐标系 ， 如图 设 x（x ， y） ，且oaa ， obb ，则 a（

9、acos， asin） ， b（bcos， bsin（） ， x a b cos， y a b sin， 于是 中学数学教学 年第 期 万方数据 图 1 x cos y sin ab 因 saob absin c痴 ab c sincos ，故 x 的轨迹方程为 x c cot y c tan ，所以其轨迹 是双曲线 图 2 结论妙证 由结论 知 ab 的中点为 x 的轨迹 为双曲线且轨迹方程为 x y k 由题意知 k tan，c k ，则 x 的轨迹方程 为 x c cot y c tan 评注 当 saob c（ c为定值）时 ，ab 的中 点的轨迹为双曲线 ； 不难探究 ， 当 l和

10、l的斜率 之积为定值 m 时 ，oab 的面积也为定值 实 质体现了“斜率定积” 、 “面积定值”与“轨迹定形” 它们三者之间的内在联系 因此自招题可变式 为 ： “从 o出发的两条射线 l、l，已知直线交 l、 l于 a 、b两点 ， 若 l和 l的斜率之积为定值 m ， 记 ab 的中点为 x ，求证 ：x 的轨迹为双曲线 ” 论证生疑 ， 探究释疑 结论揭示在众多以 l、l为渐近线的双曲线 中 ， 仅有唯一的双曲线使得 oab 的面积为定 值 ， 且取定值时直线 l与其相切 ， 笔者自然而生两 点疑惑 疑惑 1 当直线 l与所得双曲线 x a y b （a ， b ）不相切 ， 即相交时

11、 ，oab 的面 积与 ab 有何关系 疑惑2 当设过双曲线一点的某直线 l与共 渐近线的另一双曲线相交于 a 、b ，则 oab 面 积有何特殊之处 探究疑惑 1 显然直线的斜率不为 ， 故设 直线 l ：x ny t ，且与 x a y b （a ， b ）交于 a（xa ， y a） ， b（xb ， y b） 联立方程组 x ny t ， b a x y a ，得 （ b a n ）y b a nty b a n a 当 （b n b a t a ） ， 即 b a t a （ b a n ）时相交 则 saob b a yayb b a b t a b n ab 结合上述简单推导中

12、， 可知有进一步结论 ： 结论 3 过 x a y b （a ， b ）上一 动点的直线 l ，与两定直线 l： y b a x ，l： y b a x 分别交直线于 a 、b （点 a 、b 分别在第一 、 四象限） ； 仅当直线 l与双曲线有且只有一个公共 点时 oab 的面积为定值 ab ，也即面积的最 小值 探究疑惑 2 一般化设曲线 c ：x a y b （a ， b ） ，直线过曲线 e ：x a y b （a ， b ） （ ） 上的点 p ， 且交曲线 c 于右支（或左 支）上 a 、b 两点 ； 则 soa b有何变化特点 推理如下 ： （）当直线斜率不存在时 ， 设直线为

13、x t（ t a） ；则 soa bt（ t a ）b b a t a a 当ta 时 ， soa b的最小值为 ab ，且此时直线与曲线 e 相切于双曲线 顶点 （）当直线的斜率存在时 ， 可设直线 y kx m ；其与双曲线交于某一支时 ， k b a 联立 方 程 组 x a y b ， y kx m ， 可 得 （b 年第 期中学数学教学 万方数据 a k ）x a kmx a （m b ） 且 saob ab（ m b a k ） m b a k 另由方程组 x a y b ， y kx m ， 从而 a b （a k b ） m 即得 m b a k 由 知 取最小值为 ab ，且

14、当 取 等号时 ； 即直线与曲线 e 相切 综上不难发现 ，soa b不为定值 ， 但是存在最 小值 ； 可以归纳如下 ： 结论 4 曲线 c ：x a y b （a ， b ） ，直 线过曲线 e ： x a y b （a ， b ） （ ）上的 点 p ， 且交曲线 c于右支（或左支）上 a 、b 两点 ； 则 soa b的最小值为 ab ，且取最小值时 直线与曲线 e仅有一个公共点 类比推广 ， 结论拓展 根据圆锥曲线的统一性 ， 笔者探究发现 ， 结 论可以推广至一般椭圆 ， 如下 ： 结论 5 设椭圆 c ：x a y b （a b ） ； 直线 y kx m过椭圆 e ：x a y

15、 b （a b ） （ ）上的点 p ， 且交椭圆 c于 a 、b 两 点 ， 则 soa b如下 ： （）若 时 ，soab的最大值为 ab ；且取最大值时 ， 直线与椭圆 e 仅有 一个公共点 （）若 时 ，soab的最大值为 ab 关于结论 的证明 ， 类似于双曲线的探究疑 惑 的推理论证 ， 笔者在此不赘述 4 典型应用 试题 1 （ 年上海卷理科第 题）已知 椭圆 x y ，过原点的两条直线 l和 l分 别与椭圆交于 a 、b 和 c 、d ，记得到的平行四边 形 acbd 的面积为 s （）设 l与 l的斜率之积 为 ，求面积 s 的值 简析 因为 kk b a ，由结论 知 平行四边形 acbd 的面积为 s saoc ab ， 所以 s 试题 2 （ 年山东卷理科第 题）平面 直角坐标系 xoy 中 ， 已知椭圆 c ：x a y b （a b ）的离心率为 ，左 、 右焦点分别是 f、 f 以 f为圆心以 为半径的圆与以 f为圆心 以 为半径的圆相交 ， 且交点在椭圆 c 上 （ ）设椭圆 e ：x a y b ，p为椭圆 c 上 任意一点 ， 过点 p的直线 y kx m交椭圆 e 于 a 、b 两点 ， 射线 po 交椭圆 e 于点 q （i）求 oq op 的值 ； （ii）求 abq 面积的最大