普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究

1、西北师范大学 硕士学位论文 普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究 姓名：李军 申请学位级别：硕士 专业：学科教学数学 指导教师：孙名符 20061001 摘要 2 0 0 3 年4 月国家教育部颁布了“普通高中数学课程标准( 实验) ”( 以下 简称标准) ，其中在选修系列4 2 新增加了数学专题“矩阵与变换”。 “矩阵与变换”过去一直是大学高等代数( 线性代数部分) 的主要内容，作 为一个数学专题，从几何变换的视角引入到普通高中数学课程标准，我国尚属首 次。本研究依据标准的设计意图，基于我国高中学生的认知心理规律、已有 知识结构和“矩阵与变换”的知识特征，对概念的呈现方式、基本初等矩

2、阵的几 何意义、平移变换的矩阵表达方式及其几何意义、课程的实施策略等方面作了深 入研究，通过教学实验和实验分析给出了基本的教学建议。 在力学的研究中，物体最基本的形变是伸缩和切变变换，它们所对应的数学 模型正是两种基本初等矩阵。高等代数( 线性代数部分)般不讲授基本初等矩 阵的物理和几何意义。数学百科全书对物体切变的数学模型给出的名称是“移 位”，几何解释应用射影的观点，使用了“无穷远”和“仿射超平面”等抽象概 念。把纯数学抽象出来的基本初等矩阵放回到可见的物理世界中审视，给出其现 实的几何意义，是本研究的重要成果之一，这项成果对矩阵理论工具化的提升， 列物理和数学学科中相关概念进行统一规范对

3、在普通高中进行“矩阵与变换” 的教学具有重要的现实意义。 关键词：高中数学：矩阵与变换；呈现方式：基本仞等矩阵：几何意义；教学研 究 v a b s t r a c t i nt h e “s e n i o rh i 曲s c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u ms t a n d a r d s ( e x p e r i m e n t a l m a n u s c r i p t ) e n a c t e db yn a t i o n a lm i n i s t r yo fe d u c a t i o ni na p

4、 r i l2 0 0 3 ，as p e c i a lt o p i c “m a t r i xa n dt r a n s f o r m a t i o n ，w a sa d d e di ns e c t i o n4 2a sa ne l e c t i v ep a r t “m a f f i xa n dt r a n s f o r m a t i o n ”h a db e e nt h em a j o rp a r ti na d v a n c e da l g e b r ac o u r s e ( 1 i n e a ra l g e b r ap a r

5、 t ) i nc o l l e g e ，a n di t w a st h ef i r s tt i m et h a tt h i sc o n c e p tw a s i n t r o d u e d x i i ls e n i o rh i 曲s c h o o ic u r r i c u l u ms t a n d a r d sa sas p e c i a lm a t h e m a t i c a lt o p i c b a s e do nt h ep u r p o s eo ft h ed e s i g no ft h i s “c u r r i

6、c u l u ms t a n d a r d s ”，t h ec o g n i t i v e p s y c h o l o g i c a lc h a r a c t e r i s t i c sa n dk n o w l e d g es t r u c t u r eo fc u r r e n ts e n i o rh i g hs c h o o l s t u d e n t si no u rc o u n t r y ，p l u ss p e c i a lp r o p e r t i e so ft h ek n o w l e d g eo fm a

7、t r i xa n d t r a n s f o r m a t i o n ，w ec o n d u c t e da ni n d e p t hr e s e a r c ho nt h ep r e s e n t a t i o no fi t sc o n c e p t ， t h eg e o m e t r i c a ls i g n i f i c a n c eo fb a s i ce l e m e n t a r ym a t r i x ，t h ee x p r e s s i o no fs h i f t t r a n s f o r m a t

8、i o ni nm a t r i xf o r i l la n di t sg e o m e t r i c a lm e a n i n g 、a n da l s ot h es t r a t e g yo f h o wt oc o n d u c tt h ec o u r s e i na d d i t i o n ，ag r o u po ft e a c h i n gs u g g e s t i o n sa r eg i v e n b a s e do n o u rr e s e a r c ha n de x p e r i m e n t a lr e s

9、 u l t f l e xa n ds h e a rt r a n s f o r m a t i o n sa r et h et w of u n d a l n e n t a ld e f o n - n a t i o n si nt h e m e c h a n i c a lr e s e a r c h ，a n dt h e ya l s oh a v et h ec o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l s ， n a m e l yt h et w ok i n d so fb a s i c

10、e l e m e n t a r ym a t r i x e s h o w e v e gt h ep h y s i c a la n d g e o m e t r i c a ls i g n i f i c a n c eo fb a s i ce l e m e n t a r ym a t r i x e sa r es e l d o mm e n t i o n e di nl i n e a r a l g e b r a i nm a t h e m a t i c se n c y c l o p e d i a t h ec o n c e p t “s h i

11、f t ”i su s e dt od e s c r i b et h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo fa no b j e c t ss h e a rt r a n s f o r m a t i o n a n di t sg e o m e t r i c a l e x p l a n a t i o ni sf r o map r o j e c t i v ep e r s p e c t i v e ，p l u st h e u s eo fs o m ea b s t r a c t e d d e s c r i p t i o

12、 n sl i k e “i n f i n i t y a n d “a f f i n eh y p e rp l a n e ”t h e n i ti si m p o r t a n tt oo b s e r v e t h eb a s i ce l e m e n t a r ym a t r i xf r o map h y s i c a lp e r s p e c t i v ei nav i s i b l es p a c e ，a n dt o p r o v i d e i t s p r a c t i c a lg e o m e t r i c a lm

13、e a n i n g a n d t h i si sa l s oo n eo ft h em a j o r a c h i e v e m e n t so fo b rr e s e a r c h t h i sa c h i e v e m e n tw o u l dn o to n l ye n h a n c et h e a p p l i c a t i o no fm a t r i xt h e o r ya n dd os o m ea e t n a lh e l p f o rt h eu n i f i c a t i o na n d s t a n d

14、a r d i z a t i o no fc o r r e s p o n d i n gc o n c e p t si nb o t hp h y s i c a la n dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ， b u ta l s oh a v es o m ep r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e f o rt h e t e a c h i n g o f m a t r i xa n d t r a n s f o r m a t i o i ns e n i o rh i 【g hs c h

15、 o o i k e yw o r d s ：s e n i o rh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c s ，m a t r i xa n dt r a n s f o r m a t i o n ，t h e f o r mo fp r e s e n t a t i o n ，b a s i ce l e m e n t a r ym a t r i x ，g e o m e t r i c a ls i g n i f i c a n c e ，t e a c h i n g r e s e a r c h v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是

16、我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谓 的地方 外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 虢始 蹶趔址堕 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇翻新弛叠益荪日期 彻不

17、，p 才 i i i 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究李军 一、问题的提出 第一部分引言 2 0 0 1 年6 月国家教育部基础教育课程改革纲要( 试行) ( 以下简称纲 要) 的颁布，为我国第八次基础教育课程改革的启动拉开了序幕；2 0 0 3 年4 月 “普通高中数学课程标准( 实验) ”( 以下简称标准) 正式出台，其中，标 准在选修系列4 2 新增加了数学专题一矩阵与变换。；2 0 0 4 年9 月广东省、 海南省、山东省、宁夏回族自治区等四省区开始进入首轮标准的教学实验； 2 0 0 5 年9 月江苏省开始在普通高中试行学分制管理实验。值此，新一轮普通高 中

18、基础教育课程改革教学与管理的实验和研讨正在不断深化。 标准是纲要的基本理念在普通高中数学学科的具体体现，是我国 基础教育现代化的产物，渗透了国际数学基础教育的发展趋势。 矩阵的基本理论过去一直是大学高等代数的主要内容，把“矩阵与变换”的 初步知识作为一个数学专题，从几何变换的视角引入到普通高中数学课程标准， 我国尚属首次，由于“递授对象”的不同，符合高中学生认知规律的知识与技能、 过程与方法、情感态度与价值观的教学研究应时而生。 从几何变换的角度引入矩阵的相关概念，是一种比较新颖的概念导出方式， 这一方面，目前在普通高师院校数学专业的课程中，还缺乏整合的教学资源。从 已出版的实验教材和试验区部

19、分教师的试教情况来看，对矩阵的几何意义基本属 于纯数学的描述，在课题的导入和应用中，所选取的科技、生产和生活方面的例 子与凡何变换的关系尚缺乏实质性的联系。，这与标准的设计理念不尽相同。 依据标准和中学生的认知规律，进一步地对“矩阵与变换”在普通高中的教 学研究显得必要而又紧迫。 综上，在我国基础教育课程改革的进程中，标准的实施与当前相应课 程资源的开发以及教学研究匮乏的矛盾被凸现出来，本研究的选题由此而生。 二、研究的目的与意义 现代社会越来越需要数学素养比较高的入才，学生在学习过程中，应当有更 加开阔的视野。一个人只有具备了比较高的数学素养和比较开阔的视野，才能比 。中华人民共和国教育部制

20、订，普通高中数学 5 程标准( 实验 m 北京；人民教育出版社，2 0 0 3 7 。数学课程标准研制组，普通高中数学课程标准( 实验) 解读 m 南京：江苏教育出版社，2 0 0 4 。数学教育交流站，h t t p ：b l o g c e r s p c o m 6 5 9 8 5 5 3 7 3 a s p x 第一部分引言 较自觉地、有意识地运用数学眼光，去观察、分析周围的世界，去主动地运用数 学知识处理和解决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣和 需要，了解更多、更广的数学知识，具有更高的数学素养，标准除了必修课 程之外设置了选修课程，通过选修课程的学习，学生可以对

21、数学的科学价值、应 用价值和文化价值有更多的认识，以满足他们今后在工作和生活中对有关数学知 识的不同的需要。 矩阵属于基础性的数学语言和工具之一。在研究数学对象、用数学方法解决 实际问题等活动中具有广泛的应用价值。用向量研究几何问题、讨论几何变换、 解线性方程组等等，在许多数学建模中，因为矩阵的应用，使数学的简洁、优美 和强大的工具性得以提升。在信息技术高度发展的二十一世纪，人们对批量数据 处理、几何作图等方面能力的要求越来越高，矩阵作为基本的数学语言和工具之 一，纳入人的基本数学素养是时代的召唤。 随着现代教育心理学和现代教育技术的发展，知识观、教育观、学生观、 教师观、价值观、评价观的转变

22、，教学观是动态发展的；随着人类知识总量的不 断增长、知识环境的变化、各类科学知识的普及、相关知识对人类智慧的潜在启 迪和迁移，人们对同一知识的认知能力是动态发展的。所以探讨适时的有效教学 是教育工作者永无休止的追求。 教学体系和科学体系以及学科的发展体系是有所区别的，教学体系旨在浩 瀚、复杂、交织、多变的知识、能力、情感、态度、方法等海洋中具有可化约性、 可迁移性的“少而精”的知识中，重新构建符合学生认知规律的、可接受的教学 理论体系。 在普通高中数学课程中，首次作为一个专题，从几何变换的视角进行“矩 阵与变换”初步知识的教学，由于缺乏较成熟的教学积累，“教什么奠号“怎么 教”是当前基础教育研

23、究中一个崭新的课题。 + 遵循高中学生的已有经验和认知能力，选取最基本的内容，揭示矩阵的基本 几何属性，研究新概念的呈现方式，为标准的实施积累素材，帮助教师理解 和把握好教学要求是本研究的目的。它在我国基础教育课程改革的进程中，不仅 具有一定的理论价值，而且对教学实践具有一定的指导意义。 三、研究的思路与方法 。李秉德主编，教学论 m 北京：人民教育h 版社，1 9 9 1 1 5 4 1 6 9 2 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究李军 ( 一) 在普通高中进行“矩阵与变换”教学的目的 根据标准的设置意图，把“矩阵与变换”的初步知识介绍给高中学生， 不能把大学线性代

24、数中有关“矩阵与变换”的知识系统，全部或部分简单地 移植到中学，对于普通高中的教学旨在以“矩阵与变换”为载体，展现数学的思 想、方法、精神、力量和美，开阔学生的数学视野。所以在普通高中进行“矩阵 与变换”教学的e l 的是： 1 给学生介绍一种基本的数学思想和方法。 2 开阔学生的数学视野。 3 能运用矩阵的初步知识解决一些简单的数学或应用问题”。 ( 二) 研究的思路 根据教学目的，基于标准的设计意图、高中学生的认知规律和“矩阵与 变换”的知识特征，本研究的思路如下： 1 矩阵作为一种基本的数学方法、数学语言和数学工具产生且被广泛应用， 它是数学思想和方法的优秀载体之一。从矩阵的理论和应用系

25、统中挖掘、提炼其 所揭示的高中学生可接受的基本数学思想和方法贯穿于本研究的始终。 2 在解析几何“曲线与方程”的研究中，符合某种规律的点的轨迹可以用 一个代数方程来表示，这一过程初步展示了数学用于描述运动变化过程中相依变 量之间关系的功能和优势。但从宏观上，把点的轨迹看作是一条确定的曲线( 图 形) ，曲线( 图形) 在受到力的作用发生伸缩、切变的变化过程，用纯代数方程 来描述，形式繁杂且直观意义不强，通过矩阵对这一过程简洁、优美、直观的表 述，可以开阔学生的数学视野、进一步感受数学的精神、力量和美。从一个新的 视角展示用于描述物体( 几何图形) 受环境影响发生形变( 变换) 的数学方法， 开

26、阔学生的数学视野是本研究的重点。 3从可见的物理世界中物体的基本形变抽取基本初等矩阵现实的几何意 s o , 探求矩阵所揭示的社会与自然内在的规律性，通过还原知识的原象，剥去其 抽象的外衣，透视矩阵的几何属性，提升学生对数学工具的认识、理解以及自觉 应用的能力，构建一个富有实用意义的数学知识教学体系是本研究的关键点。 4 根据布鲁纳的教学观，任何知识都可以通过不同的方式让学习者达到相 应水平的认知。一个典型例证是，科学知识与科普知识读本的使用。把长期以 。中华人民基和国教育部制司，普通高中数学课程标准( 实验) m 北京：人民教育出版社，2 0 0 3 8 - 9 o 施良方著，学习论 m 北

27、京：人民教育版社，2 0 0 3 1 一加 3 第一部分引言 来，一直在大学讲授的矩阵的初步知识，引入到普通高中数学课程标准中，由于 “递授对象”的改变，对象认知能力、知识结构、学习价值观的不同，如何依据 标准的设计理念，向高中学生呈现“矩阵与变换”的初步知识，并在知识的 学习过程中，使学生形成一定的“数学建模”、“化归”等数学方法和科学创新 的能力是本研究的切入点。 ( 三) 研究的方法 基于我国初中和高中学生的已有知识结构和认知规律，依据奥苏伯尔的有意 义学习理论和现代建构主义的学习观，运用现代教育理论和数学方法，通过文献 比较、质化研究、实验以及实验分析的方法，遵循发现、构造模型、解释、

28、论断 和实验的科学活动过程进行有发展和创新的研究。 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究李军 第二部分 国内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 一、国内中学对相关教学内容的设置历史及思想比较 ( - - ) 国家教育部“中学数学教学大纲”、“高中数学教学纲要”、标 准对相关内容的设置比较 我国国家教育部于1 9 6 3 年5 月颁布的全e t 审l j 中学数学教学大纲( 草案) ， 高中阶段，代数部分，首次列入了，1 0 行列式( 1 4 课时) ，内容为：行列式、 二阶和三阶行列式的展开。行列式的性质。予行列式。四阶行列式的展开。线性 方程组。齐次线性方程组。

29、1 9 7 8 年，全e t 制十年制学校中学数学教学大纲( 试行草案) 高中阶段，将 行列式一章改为，高中二年级，1 线性方程组( 1 6 课时) ，内容为：行列式。 二阶、三阶行列式的展开。行列式的性质。余子式、代数余子式。按一行( 或一 列) 展开行列式。四阶行列式展开举例。用行列式解线性方程组。三元齐次线性 方程组( 星号) 。 1 9 8 0 年，全日制十年制学校中学数学教学大纲( 试行草案) 高中阶段，( 一) 教学要求，5 掌握行列式的一些性质，能够用行列式解线性方程组。( 二) 教学 内容，高中二年级，1 线性方程组( 1 6 课时) ，行列式。二阶、三阶行列式的 展开。三阶行

30、列式的性质。按一行( 或一列) 展开行列式。用行列式解线性方程 组。三元齐次线性方程组( 星号) 。 1 9 8 2 年，全e t f o j 六年制重点中学数学教学大纲( 征求意见稿) 高中阶段， 分三种类型。 第一类型( 三年每周课时5 ，5 ，5 ) ：高中二年级( 每周3 课时。共9 6 课 时) ，4 ，行列式( 1 6 课时) ，内容为：行列式、二阶、三阶行列式的展开。行 列式的性质。余子式、代数余子式。按一行( 或一列) 展开行列式。四阶行列式 展开举例。用行列式解线性方程组。三元齐次线性方程组( 星号) 。 第二类型( 三年每周课时5 ，3 ，3 ) ：高中二年级( 每周3 课

31、时。共9 6 课 。课程教材研究所编，2 0 世纪中国中小学课程标准、教学大纲汇编( 数学卷) m 北京：人民教育出 版社，2 0 0 1 注：本文对我国教育部1 9 6 3 年奄1 9 9 6 年制订的高中教学大纲相关内容的表述除另有标注外 主要引自该文献，以下不再一一标注。 。中华人民共和国教育部制订，全l t 制十年制学校，中学数学教学人纲( 试行草案) m 北京：人民教育 出版社，1 9 8 0 1 8 第二部分国内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 时) ，3 ，行列式( 1 6 课时) ，内容为：行列式、二阶、三阶行列式的展开。行 列式的一些性质和按一行( 或一列) 展开举例

32、。用行列式解二元、三元线性方程 组。 第三类型( 三年每周课时5 ，6 ，6 ) ：高中二年级( 上学期每周3 课时，下 学期每周4 课时，共1 1 2 课时) ，4 ，行列式( 1 8 课时) ，内容为：行列式、二 阶、三阶行列式的展开。行列式的性质。余子式、代数余子式。按一行( 或一列) 展开行列式。四阶行列式展开举例。用行列式解线性方程组。三元齐次线性方程 组( 星号) 。 1 9 8 3 年高中数学教学纲要( 草案) ，基本要求内容，代数，7 ( 星号) 行 列式和线性方程组( 1 6 课时) ，二阶行列式和二元线性方程组。三阶行列式。 三阶行列式的性质。按一行( 或一列) 展开三阶行

33、列式。三元线性方程组。 1 9 8 6 年全日制中学数学教学大纲，高中阶段( 三年，每周课时5 ，5 ，5 ) 代 数( 1 8 2 课时) 。( 一) 教学要求，6 ( 星号) 了解行列式的基本性质，能够 用行列式解二元、三元线性方程组。( 二) 教学内容，7 ( 星号) 行列式和线 性方程组，内容为：二阶行列式和二元线性方程组。三阶行列式。三阶行列式的 性质。按一行( 或一列) 展开三阶行列式。三元线性方程组。 具体要求： ( 1 ) 使学生理解二阶、三阶行列式的概念。掌握展开它们的对角线法则； 了解三阶行列式的性质，能运用它们化简和计算三阶行列式；了解余子式和代数 余子式的概念，能按一行

34、( 或一列) 展开三阶行列式。 ( 2 ) 使学生能用行列式解二元、三元线性方程组，并会对二元线性方程组 的解的情况作初步讨论。 1 9 8 8 年全日制中学数学教学大纲，高中阶段( 三年，每周课时5 ，4 ，5 ) 代 数( 1 7 0 课时) ，7 ( 带星) 行列式和线性方程组，内容为：二阶行列式和二元 线性方程组。三阶行列式。三阶行列式的性质。按一行( 或一列) 展开三阶行列 式。三元线性方程组。 1 9 9 0 年全日制中学数学教学大纲( 修订本) 高中数学教学纲要( 草案) 较 高要求内容，代数，7 行列式和线性方程组( 1 6 课时) ，内容为：二阶行列式 和二元线性方程组。三阶

35、行列式。三阶行列式的性质。按一行( 或一列) 展开三 。人民教育出版社，高中数学、物理、化学，教学纲要( 草案) m 北京：人民教育i h 版社，1 9 8 3 3 o 中华人民共和国国家教育委员会$ u h ，全日制中学数学教学大荆i m 北京：人民教育出版社， 1 9 8 6 2 7 3 2 6 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究 李军 阶行列式。三元线性方程组。三元齐次线性方程组( 星号) 。四阶行列式和四元 线性方程组( 星号) 。用顺序消元法解线性方程组( 星号) 。 具体要求： ( 1 ) 使学生理解二阶、三阶行列式的概念。掌握展开它们的对角线法则； 了解三

36、阶行列式的性质，能运用它们化简和计算三阶行列式；了解余子式和代数 余子式的概念，能按一行( 或一列) 展开三阶行列式。 ( 2 ) 使学生能用行列式解二元、三元线性方程组，并会对二元线性方程组 的解的情况作初步讨论。 1 9 9 6 年全日制普通高级中学数学教学大纲( 供试验用) 取消了有关行列式 和线性方程组的内容。 2 0 0 3 年4 月普通高中数学课程标准( 实验) ，在选修系列4 2 增加了数学 专题：矩阵与变换( 1 8 课时) ，指出：矩阵是研究图形( 向量) 变换的基本工 具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。 本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、

37、逆矩阵和矩阵的 特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩 阵应用的广泛性。 内容与要求 1 引入二阶矩阵 2 二阶矩阵与平面向量( 列向量) 的乘法、平面图形的变换 ( 1 ) 以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。 ( 2 ) 证明矩阵变换把平面上的直线变成直线( 或点) ，即证明 一 a ( x , a + 屯卢) = 2 1 a a + a 2 a f t ( 3 ) 通过大量具体的矩阵对平面上给定图形( 如正方形) 的变换，认识到 矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 3 变换的复合二阶方阵的乘法 ( 1 ) 通过变换的实例

38、，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。 ( 2 ) 通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。 ( 3 ) 验证二阶方阵乘法满足结合律。 ( 4 ) 通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。 4 逆矩阵与二阶行列式 ( 1 ) 通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明 第二部分国内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 逆矩阵可能不存在。 ( 2 ) 会证明逆矩阵的唯一性和0 b ) ：b 一。等简单性质，并了解其在变换 中的意义。 ( 3 ) 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 5 二阶矩阵与二元一次方程组 ( 1 ) 能用变换与映射的观点认识解线性方

39、程组的意义。 ( 2 ) 会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。 ( 3 ) 会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一 性。 6 变换的不变量 ( 1 ) 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向 量的意义。 ( 2 ) 会求二阶方阵的特征值与特征向量( 只要求特征值是两个不同实数的 情形) 7 矩阵的应用 ( 1 ) 利用矩阵a 的特征值、特征向量给出a “口简单的表示，并能用它来解 决问题。 ( 2 ) 初步了解三阶或高阶矩阵。 ( 3 了解矩阵的应用。 8 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容： ( 1 ) 知识的总结。理解本专题的整体思路、结构和

40、内容，进一步认识变换 的思想。 ( 2 ) 拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵与变 换及其应用做进一步探讨。 。 ( 3 ) 学习本专题的感受、体会。 说明与建议 l 本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m x 再阶矩阵以及 ( 。) 形式的表示。 2 矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些 几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映 射的观点来认识矩阵、解线性方程组。 8 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究 李军 3 要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理 解矩

41、阵乘法的运算律。 4 要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具 体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值，逆矩 阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。 5 在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地 介绍一些矩阵的拓广知识( 如三阶矩阵或高阶矩阵) ，这些不要求学生掌握，只 要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了 解，有利于以后的学习。 6 这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在 实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解 决。 ( -

42、 - ) 在高中对相关教学内容的设置意图、教材编写及教学建议分析 综上，我国国家教育部1 9 6 3 年颁布的全日制中学数学教学大纲( 草案) ， 高中阶段，代数部分，首次作为一章的教学内容列入了行列式，但不涉及矩 阵的概念。1 9 7 8 年的大纲将这一章名称改为线性方程组，一直到1 9 8 8 年， 大纲关于行列式的内容只是在难度上略有调整。1 9 9 0 年颁布的高中数学教学纲 要( 草案) ，较高要求内容的代数中，增加了用顺序消元法解线性方程组( 星号) ( 矩阵表示) 。1 9 9 6 年全日制普通高级中学数学教学大纲c 供试验用) ，取消 了有关行列式和线性方程组的内容。2 0 0

43、 3 年颁布的普通高中数学课程标准( 实 验) ，在选修系列4 - 2 增加了数学专题一矩阵与变换。 从设置意图看，1 9 6 3 年至1 9 9 6 年的大纲，主要是从解线性方程组的角度， 介绍一些简单的行列式的知识，这是由于较多实际问题在提出数学模型后，往往 最终化为线性方程组，+ 再通过电子计算机予以解决。另一方面，作为数学工具， 矩阵比行列式实际上更为有用。限于我国教学习惯及课时条件，教材中先讲些行 列式知识，但讲行列式也有为引入矩阵作准备的考虑。 从教材编写看，1 9 7 9 年由中小学通用教材数学编写组编写的，全日制十年 制学校高中课本( 试用本) ，数学，第三册，接于第一章小结和

44、复习题后，以附 录的形式安排了，用高斯消元法解线性方程组，并以，根据指定要求对矩阵进行 。中牛人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准( 实验) m j 北京：人民教育出版社，2 0 0 3 4 - - 8 1 - 8 3 。蔡上鹤、曾宪源，六年制重点中学高中数学谍奉代数第二册第四章简介 j j 数学通报，1 9 8 4 ，( 3 ) ： 2 4 2 5 9 第二部分周内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 行的初等变换，用高斯消元法( 矩阵表示) 解三元、四元线性方程组，安排了三 个层次的练习习题。 从教学建议看，教材引入矩阵的定义和行的初等变换，其基本思想是：顺序 消元法是解线性方程

45、组常用的一种消元法，实际上，这种方法比用行列式解线性 方程组的方法更有普遍性。这一方法是按确定的程序进行变形运算的，因此，它 有利于用电子计算机来进行计算( 即使是用笔算，也比用克莱姆法则方便) ，特 别是对多元线性方程组，用克莱姆法则求解玎元线性方程组，要计算n + 1 个n 阶 行列式，这样做，计算量是很大的；而用顺序消元法，书写可大为简化，教学时， 在讲清顺序消元法的思路以后，可以矩阵表示法为主。 经过部分地区多年的教学试验，1 9 9 0 年全b $ t l 中学数学教学大纲( 修订本) 高中数学教学纲要( 草案) 中，较高要求内容，代数部分，以带星号的选学内容 “用顺序消元法解线性方

46、程组”列入代数基本内容，但没有列入具体要求。 2 0 0 3 年的课程标准主要是从数学思想和方法的角度，介绍矩阵的一些初步 知识，行列式的引入则是由于求解逆矩阵的需要( 详析见：第三部分，一、标 准的设计思想) 。 。 二、主要发达国家中学对相关教学内容在课程中的处理比较 ( - - ) 主要发达国家中学对相关教学内容的标准、教材编写及教学综 述 l 法国 法国的中学数学教材，对几何变换的教学一贯很重视，从初中一年级起每年 都有几何变换的内容：初一、轴对称；初二、中心对称；初三、平移和旋转；初 四、两次平移、两次中心对称、两次轴对称的复合：高一、反射、旋转、平移的 进一步研究与位移：高二、变换

47、的复合与变换的逆；高三、平面上的等距变换、 平面上正向相似变换、空间的平移、位移、中心对称、关于一平面的反射。这样 连年不断，而且初一年级起就注意指出这些变换下图形的一些不变性质或某些性 质的变化，并且注意了把这些不变性或有规律性的变化用于几何图形性质的研 究，这些内容，添上平面向量与空间向量的运用，使法国的中学几何教材不同于 传统的中学几何教材而获得了一种全新的面貌。对于矩阵的知识主要体现在解常 。中小学通用教材数学编写组编，全l j 制十年制学校高中课本( 试用本) 数学第三册 m 北京：人民 教育出版社，1 9 7 9 4 3 - 5 4 o 安徽省教育科学研究所编，高级中学代数( 试用

48、) 第二册( 甲种奉) 教学参考书 m 北京：人民教育 出版社，1 9 8 41 6 1 1 0 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究 李军 系数线性方程组的应用。如高中三年级理科( c e ) 数学教学大纲，方程、线性方 程组的教学内容：通过行的初等变换( 将一行的倍数加到另一行上去；或以一非 零的数乘某一行；或两行对调；) 解常系数线性方程组。在作业中要求，( 1 ) 引导到一元方程、一元不等式或常系数线性方程组或不等式组的情景研究；( 2 ) 用行的初等变换法解线性方程组；( 3 ) 引导到线性方程组的平面几何或立体几 何问题( 向量的分解、截面) 的研究。但对高一

49、和高二仅要求常系数二元线 性方程组或不等式组的数值解及图象研究，用代入消元法和加减消元法解常系数 线性方程组。求解公式、行列式概念及克莱姆公式都不涉及。” 2 德国 德国供完全中学与综合学校这两种学校的高年级阶段( 十- - n 十三年级) 学 生选用的中级i i 的数学教材，按1 9 8 9 年公布的情况，主要有微积分、分析、概 率和统计、实用随机、解析几何、线性几何、信息学、数学信息学。巴伐利亚 州中学数学教学计划，十三年级基础课解析几何( 约5 4 课时) ，内容为： ( 1 ) 在实观空间中向量的计算( 约6 课时) 。( 2 ) 向量的线性相关与线性无关 ( 约1 0 课时) 。(

50、3 ) 向量和点的坐标表达式( 约5 课时) 。( 4 ) 直线方程与 平面方程的向量表达式和坐标表达式( 约7 课时) 。( 5 ) 点、直线和平面之间 的位置关系( 约7 课时) 。( 6 ) 向量的数量积，长度和角度的计算( 约1 0 课时) 。 ( 7 ) 直线方程和平面方程的法化式，几何应用( 约9 课时) 。由霍斯贝格、耶 尔编著的线性几何主要内容为：引入向量空间与线性方程组，仿射点空间， 向量数量积和欧几里得空间，线性映射和矩阵，仿射映射，复习题。德国的几何 教学实施的是经验几何，将几何教学建立在经验上，使学生了解他们周围的环境， 将轴对称、平移、中心对称、旋转均定义为一种图形的

51、映射。 3 日本 日本高等学校( 高中) 数学学习的总目标是，加深对数学的基础概念、原理、 法则的理解，提高用数学方法研究和处理事物现象的能力，同时，认识到数学的 思想和思考方法的优越性并培养积极灵活应用的作风。 作为数学i i i 之后，再展开的内容数学c ，要求从数学的观点出发，灵活应用 电子计算机，理解关于矩阵和线性计算、各种曲线、数值计算以及统计处理，达 到掌握知识和熟练的技能的目标，提高对事物现象进行数学研究和处理的能力。 。陈昌平主编，数学教育比较与研究( 修订奉) m | 海：华东师范大学出版社。2 0 0 0 注：文中( 1 ) 、 ( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、(

52、 5 ) 、( 6 ) 部分除r 另有标沣外主璎析m 自该文献，以下不再一一标注。 1 1 第二部分国内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 其中矩阵和线性计算的内容为：矩阵( 矩阵和它的运算、矩阵的积和逆矩阵) ； 线性方程组( 矩阵表达、消去的解法) 。 4 俄罗斯 俄罗斯的中小学教育实行十一年一贯的学制。数学教育的一般目的与任务是： ( i ) 使学生掌握作为现代社会的人在日常生活和生产活动中所必需的，并足以 适应其他学科的学习和继续学习之要求的数学知识、能力和技能。( 2 ) 使学生 形成关于数学的思想、方法及其对认识世界之作用的概念。( 3 ) 用数学手段培 养和发展学生个性的理

53、性品质。十至十一年级开设“代数与分析初步”。课程的 教学目标是：用代数和数学分析方法系统研究数学最重要的对象函数，相应 数学方法的技术意义和应用意义的展开，为物理学和几何学的学习准备必要的工 具。课程的特点在于分析初步的概念、结论和方法之丰富内容以及它们所表现的 实践意义，广泛运用直观的方法研究分析学的论题，综合考虑分析初步的一般教 育意义和邻近学科研究材料的要求来确定叙述的精确性水平，课程的特征性质表 现在对学生知识的综合和系统化，对学生能力和技能的巩固和发展，这既反映在 新材料的教学中，也反映在总结复习过程中。 课程的具体内容虽然没有涉及到矩阵的有关概念，但俄罗斯课程的教学目标、 课程特点

54、、教材编写等都有诸多值得我们借鉴的方面。比如，十至十一年级开设 的“代数与分析初步”课程，最有影响的教材是安德烈一尼古拉耶维奇一柯尔莫 哥洛夫( a h k o a m o m p o b ) 主编的“代数与分析初步”。这部教材的一大特点是充 分体现了数学的学科性质，反映了数学教学的一般文化意义。在教材中，尽管几 乎找不到现代数学的理论材料，但不难发现现代数学的若干基本思想方法正渗透 于教学内容之中。 5 英国 英国中小学数学教学的特点主要表现在( 1 ) 区别化j( 2 ) 注重应用； ( 3 ) 注重过程、注重活动、注重能力培养；( 4 ) 重视计算器与计算机的使用。 英国对1 6 岁以后

55、教育实行分流，一部分人接受职业教育，准备就业；一部 分人则进入第六学级，学习a 水平的科目，以便接受g c e 考试，准备升大学。针 对各类大学不同专业的要求，除了标准的a 水平外，1 9 8 9 年起又增添了一个要 求较低的a s 水平，相当于过去的“半a ”水平，其所学的内容约为a 水平的一 半，另外在a 水平的学生中，约有四分之一学习第二门数学课“进一步的数学”。 矩阵作为和数学方法部分关联列入a 水平和a s 水平“进一步数学”的必修 硕士学位论文：普通高中新增数学专题“矩阵与变换”的教学研究李军 单元。其主要内容为：作为数的阵列的矩阵、下标记号、矩阵算术( 对适当的矩 阵的加、减、乘

56、法以及数乘) 、矩阵代数( 包括考察结合律、交换律、封闭性、 单位元与逆元，与实数的代数的区别，例如a b ，b a ，由a b = 0 推不出a = 0 或 曰；o ) 、转移矩阵( 包括应用于网络图与随机过程) 。 二维空间中下列变换及其矩阵表示：恒等、旋转、反射、放大、压缩、切变： 基向量及其与变换的矩阵的关系；与矩阵乘法有关的合成变换( 包括不可交换 性) ； 2 2 矩阵的行列式( 包括变换的面积比例因子) 、2 2 矩阵的逆、线性变换。 解n n 联立方程组，运用：( 1 ) 矩阵的逆( 只研究2 x 2 的情形，包括几何 解释) ；( 2 ) 消去法( 包括在适当情形下用高斯消去

57、法，但不包括检验) ；( 3 ) l u 分解：( 4 ) 高斯一西德尔迭代( 包括2 x2 情形的几何解释) ；舍入对于进行 数值计算与化简方法的影响；病态方程( 仅考虑2 2 的情形) ：m n 方程组的 相容性：2 2 和3 x 3 联立方程组解集的几何解释；线性变换的核，标准型的应 用，解集作为特解加核。 2 2 矩阵的特征值和特征向量及其应用( 包括特征方程、带有不同的实特征 值的矩阵变换解释为沿特征向量的双向伸缩) ；2 2 矩阵的对角化；哈密尔顿一 凯莱定理；2 x 2 矩阵的幂。 在教学上采取分散处理螺旋上升的方式。比如在著名的第二代的s m p 教材中， 第一册( 第1 部分

58、) 4 旋转( 包括角) ；第一册( 第2 部分) 1 8 对称；第二册 ( 第1 部分) 7 反射；l o 旋转；第二册( 第2 部分) 1 9 平移和向量；第三册( 第 1 部分) 1 0 变换；第三册( 第2 部分) 1 4 矩阵，1 7 变换与矩阵；第四册( 第l 部分) 3 切变和伸缩；第四册( 第2 部分) 1 1 矩阵与变换、1 7 迭代过程。 a 水平的s m p 教材力图改变数学书难读的状况，编写力求易于使用、便于自 学，为使读者学得主动，教材采用了“探索者”的风格： 修订后的a 水平s m p 教材由五册改为三册，其中矩阵与变换的内容列在第二 册，2 6 变换、矩阵和线性方

59、程组。这套s m p ( 1 1 1 6 ) 具有如下特点：( 1 ) 联 系生活，联系实际。通过与学生日常生活经验有关的实践活动来发展数学。( 2 ) 引人入胜。精心安排、并用生动有趣的方式发展学生的思想，使数学成为通俗的、 为学生所喜爱的学科。( 3 ) 由有经验的中学教师编写，并在各类学校进行广泛 的试验和使用。( 4 ) 不断修订并补充出版新的教材，适应各种不同能力学生的 需要。( 5 ) 灵活多样的学习资料。不仅提供一套教科书和小册子，而且包括各 第二部分国内外中学对“矩阵与变换”相关的教学设置综述 种资料，以满足多种多样的学习方式，如研究、小组工作和使用计算机的需要。 ( 6 ) 适应国家课程。为国家课程( 在英格兰和威尔士) 的各个水平和苏格兰5 一1 4 岁的指导方针提供内容丰富的教材。将所有的教材与国家课程进行了认真对照， 并为教师评价提出了建议与指导。第七、八学年使用的小册子重新修订，以更好 地与国家课程相适应。( 7 ) 为这套教材的使用者提供良好服务与支持。例如， 提供s m p 发展的信息，发展g c s e 大纲，定期出版“通讯”赠送给有关老师，为 教师开设在职培训课程，帮助1 0 0 多个使用s m p 教材的地方性组织联网等。 6