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文档简介
1、3.2 空间向量在立体几何中的应用,书 山 有 路 勤 为 径,学 海 无 崖 苦 作 舟,少 小 不 学 习,老 来 徒 伤 悲,成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话,天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水!,天 才 在 于 勤 奋,努 力 才 能 成 功!,勤劳的孩子展望未来, 但懒惰的孩子享受现在!,什 么 也 不 问 的 人 什 么 也 学 不 到 !,普通高中课程标准数学2-1(选修),第三章 空间向量与立体几何,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程,概念,概念1.位置向量,已知空间内一点A,决定它的相对位置需再选一定点O(根据情况自己决定),则向量 称作点A的位置向量。
2、,如果O点(也可以称为基点)给定,我们就可以用不同的位置向量表示空间内的不同的点了。,这时点P的位置被完全确定,容易看到,当t在 实数集R中取遍所有值时,点P的轨迹是一条通 过点A且平行于向量a的一条直线l.反之,在直 线l上任取一点P,一定存在一个实数t,使 向量方程通常称作直线l的参数方程.向量 a称为该直线的方向向量.,给定一个定点A和一个向量a,如图所示,再任给一个实数t,以A为起点作向量,注: 向量方程两要素:定点A,方向向量 t为参数,且t是实数,A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定,(1)两直线的方向向量分别为V1=(2,0,3),V2=(-3,0,2), 则两直线的位置关
3、系是什么?,直线的向量方程,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式 如果在l上取 则式可化为 即 或或都叫做空间直线的向量参数方程.,A,注: 当t= 时, .此时P是线段AB的中 点,这就是线段AB中点的向量表达式. 中 有共同的起点. 中 的系数之和为1.,已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: AP:PB=1:2 AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标.,直线的向量参数方程,在数学2立体几何初步中我们学习了空间里的平行关系,即线线平行、线
4、面平行和面面平行。请同学们回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。,三、概念,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行,公理4:在空间,平行于同一条直线的两条直线平行。,线面平行的判定定理:平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行。,面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面,则这两个平面平行。,在空间,我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢?,三、概念,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行,1.用向量的方法证明线线平行,设直线 和 的方向向量分别为 和 ,则,也可写成,设两个不共线向量
5、 和 与平面 共面,直线 的一个方向向量为 ,则,三、概念,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行,2.用向量的方法证明线面平行,推论:如果A,B,C三点不共线,则点M在平面ABC内的充要条件是,存在一对实数x,y使得 成立。,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行,3.用向量的方法证明面面平行,设两个不共线向量 和 与平面 共面,则,三、概念,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行,例:,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,点M,N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。 (1)求证:MN/
6、AD1且 ; (2)求证:MN/侧面AD1 。,几何证法,向量证法,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直(当夹角为90时),设直线 和 的方向向量分别为 和 ,则,设两条直线所成角为,则,再见,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子:,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,点M,N分别是B1B与CA1的中点。求证:MNBB1 ;MNA1C 。,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子:,已知三棱锥O-ABC(如图),OA=4,OB=5,O
7、C=3,AOB=BOC=60,COA=90,M,N分别是棱OA,BC的中点,求异面直线MN与AC所成角的余弦。,四、应用举例,例1.平行六面体 中,O是B1D1的中点,求证:B1C/平面ODC1 。,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题,应用向量运算的方法,虽然证明过程书写较长,但因不添加辅助线而减少了思考时间。,六、课堂总结,2.用空间向量证明空间的平行关系;,1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置;,3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称的角;,4.思想方法:用向量计算或证明几何问题时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。,已知空间中四点M,A,B,C,满足 , x,y是实数,且x+y=1. 求证:A,B,C三点共线,证明:,要证明直线与平面平行,应用向量方法:只要证明该直线的方向向量与平面内的两不共线的向量共面,即可利用共面向量定理证明; 只要证明该直线的方向向量与平面内某一向量共线
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