二元一次方程组教学课件.ppt

1、二元一次方程,授课人：袁湃,复习：一元一次方程,我们把方程中含有一个未知数,并且未知项 的指数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程。标准形式： ax+b=0 （a0） 使一元一次方程两边相等的未知数的值,叫做一元一次方程的解.,一、二元一次方程,看看这个方程: 2x-y=8 这个方程中有两个未知数x、y。所以，使这个方程左右两边的值相等的未知数的值，就应该成对。 例如， x=5，y=2. 这就是这个方程的解。我们把它记作： x=5 y=2,我们把方程2x-y=8变形，用含x的代数式表示y, 得 y=2x-8 这时，给x一个值，代入方程中，就可以求出 对应的y值，如下表：,y=2x-8 想一

2、想，二元一次方程2x-y=8的解的个数是多少呢？,一般的，形如 ax+by=c (其中a,b,c是已知数，且a0,b0) 的方程，叫做二元一次方程。对于二元一次方程，给x任意一个值，代入方程中，就可以求出对应的y的一个值，因此，它有无数个解。 由二元一次方程的所有的解组成的集合，叫做二元一次方程的解集。,二元一次方程的特点： 方程中含有两个未知数,并且未知项的指数都是1。 未知项的系数不等于0。 二元一次方程有无数个解。,我们看下面的问题： 有甲、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8，求这两个数。 分析：我们可以设其中一个数为x，用前面 所学过的列一元一次方程的方法来解决。,例：有甲

3、、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8，求这两个数。 解:设甲数为x,则乙数为(25-x),根据题意,得 2x-(25-x)=8 解之得 x=11 25-x=14 答:甲数为11,乙数为14. 这是用一元一次方程的方法来解决问题。想一想，如何利用二元一次方程的的方法来解答这个问题呢？,例：有甲、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8，求这两个数。 分析：我们要求的是两个数，我们试着同时设两个未知数 解：设甲数为x,乙数为y,根据题意,我们可以得到下面两个方程: x+y=25 2x-y=8,例： 有甲、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8，求这两个数。 上面的问题包含

4、两个必须同时满足的条件： 甲、乙两数的和是25；甲数的2倍比乙数大8. 也就是我们要求的未知数必须同时满足两个方程。因此，把两个方程合在一起，写成 x+y=25 2x-y=8,x+y=25 2x-y=8 这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 根据前面一元一次方程的计算结果，可以知道，甲数是11，乙数是14。即x=11,y=14。这样使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 记作： x=11 y=14,注意:,二元一次方程组的解是二元一次方程组的两个方程的公共解。,二、用代入法解二元一次方程组,思考：上题中的x=11,y=14是我

5、们用一元一次方程的方法计算出来的结果。我们如何求二元一次方程组的解呢？,例：有甲、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8，求这两个数。,解：设甲数为x,乙数为y,根据题意得： x+y=25 2x-y=8 分析：我们知道，如果只设一个未知数，比如设甲数是x，乙数就是25-x，那么，根据题意可得：2x-(25-x)=8. 比较上面的二元一次方程组与这个一元一次方程，不难看出，由方程，可以得到，乙数是 y=25-x 这时，我们把方程中的乙数换成25-x，也就是把方程代入方程，就可以得到：2x-(25-x)=8. 由此可以算出甲数 x.,例：有甲、乙两个数，它们的和是25，甲数的2倍比乙数大8

6、，求这两个数。,解：设甲数为x,乙数为y,根据题意得： x+y=25 2x-y=8 由方程可得：y=25-x , 将方程代入方程，得： 2x-(25-x)=8 x=11 将x=11代入方程，得：y=25-11=14 所以， x=11 y=14,例1：解方程组,1. y=1-x 3x+2y=5 2. 2x+5y=-21 x+3y=8 ,解方程组：,1. y=1-x 3x+2y=5 解：把代入，得： 3x+2(1-x)=5 注意：判断运算结果 3x+2-2x=5 是否正确，可以像一 x=3 元一次方程那样进行 把x=3代入，得y=1-3=-2检验。检验时需将所 x=3 求得的一对未知数的值，分 y

7、=-2 别代入方程组的每一个方程。,解方程组：,2. 2x+5y=-21 x+3y=8 解：由，得： 分析：要考虑将一个方程 x=8-3y 中的某个未知数用含另一个 把代入，得： 未知数的代数式表示，方程 2(8-3y)+5y=-21y=37 中x的系数是1，因此，可 把y=37代入，得： 先将方程变形，用含y的代 x=8-337 x=-103 数式表示x，代入方程求解。 x=-103 y=37,现在，让我们回顾一下二元一次方程的解题步骤,1.从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（系数最简单的），例如y，用含x的代数式表示出来，化作y=ax+b的形式； 2.将y=ax+

8、b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； 3.解这个一元一次方程，求出x的值； 4.把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解。 这种将二元一次方程的一个未知数的代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，求得二元一次方程的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。,例2：解方程组,2x-7y=8 3x-8y-10=0 ,例2：解方程组,2x-7y=8 3x-8y-10=0 分析：这里的两个方程中所有未知数的系数都不是1，方程中x的系数是2，最简单，可以将方程中的x用含y 的代数式表示出来。,例2：解方程组,2x-7y=8 3x-8y-10=0 解:由，得：2x

9、=8+7y x=(8+7y)/2 把代入，得： 3(8+7y)/2-8y-10=0 y= -4/5 把y= -4/5代入，得：x=6/5 x=6/5 y= -4/5,三、用加减法解二元一次方程组,上一节我们学习了用代入消元法求二元一次方程组的解，代入法的基本思想是设法消去一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而使方程组得以求解。对于二元一次方程组，是否还有其他方法可以消去一个未知数，达到将“二元”转化为“一元”的目的呢？,看下面的方程组,3x+2y=13 3x-2y=5 思考：这个方程的未知数系数有什么特点?,看下面的方程组,3x +2y =13 3x -2y =5 分析：这个方程组的两个方

10、程中，未知数y的系数一个是2，一个是-2，它们互为相反数。如果把这两个方程左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消去一个未知数y，得到一个关于未知数x的一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。,3x+2y=13 3x-2y=5 解：+，得： 3x+2y+3x-2y=13+5 6x=18 x=3 把x=3代入，得：9+2y=13 y=2 x=3 y=2,再看下面的方程组,3x +2y=13 3x -2y=5 分析：这个方程组的两个方程中，未知数x的系数都是3。如果把这两个方程的两边分别相减，就可以消去一个未知数x，得到一个关于未知数y的一元一次方程。进而求得二元一次方程组的解。,3x+2y=1

11、3 3x-2y=5 解：-，得： 3x+2y-（3x-2y）= 13-5 3x+2y-3x+2y=8 4y=8 y=2 把y=2代入，得：3x+4=13 x=3 x=3 y=2,在所解的方程组的两个方程中，如果某个未知数的系数互为相反数，可以直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果某个未知数的系数相等，可以直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数。但是，要解的方程组往往不满足上面的条件，也就是说，在两个方程中，同一个未知数的系数可能既不互为相反数，也不相等（即系数的绝对值不相等），这时还能不能用加或减的办法解呢？,看下面的方程组,9x+2y=15 3x+4y=10 分析：在这

12、个方程组的两个方程中，无论x还是y的系数的绝对值都不相等，因此，不能直接将这两个方程相加减。但是，由等式的性质可以知道，方程两边可以都乘以同一个不等于0的数。这样，我们就可以用类似分数通分的方法，在方程两边都乘以同一个数，使两个方程中有一个未知数的系数的绝对值相等，然后再求解。,看下面的方程组,9x+2y=15 3x+4y=10 解：由2，得：(9x+2y)2=152 18x+4y=30 由-，得：18x+4y-3x-4y=30-10 x=4/3. 想一想：是不是可以利用这里所讲的方法先消去方程组的未知数x呢？,例1：解方程组,3x+4y=16 5x-6y=33 分析：为了使方程组中的两个方程

13、的未知数系数的绝对值相等，我们得找到未知数x或y的系数的最小公倍数，以便确定方程两边需要乘的数。 我们以未知数y为例，y的最小公倍数是12，我们可以用方程3，或者用方程2，然后将两个方程相加，就可以将y消去了。,3x+4y=16 5x-6y=33 ,解：3, 得：9x+12y=48 2, 得：10 x-12y=66 +, 得：9x+12y+10 x-12y=48+66 19x=114 x=6 把x=6带入，得：18+4y=16 y=-1/2 x=6 y=-1/2,现在，让我们回顾一下这种方法的解题步骤,1.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数乘方程的两边，使其中一个未知数的系数互为相反数或相等； 2.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；