正弦定理余弦定理应用举例（距离）（高度）（角度）解析

1、1.2 正弦定理余弦定理 应用举例,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: 距离问题、高度问题、角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等.,实际应用问题中有关的名称、术语,1.仰角、俯角、视角。,（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。,（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。,（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）,水平线,视线,视线,仰角,俯角,2.方向角、方位角。,（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。,（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的

2、角叫方位角。,点A在北偏东600，方位角600.,点B在北偏西300，方位角3300.,点C在南偏西450，方位角2250.,点D在南偏东200，方位角1600.,3.水平距离、垂直距离、坡面距离。,水平距离,垂直距离,坡面距离,坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离,坡角: tan=垂直距离/水平距离,要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?,方案一:构造直角三角形,C,若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出,此方案有缺陷吗?,如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米, 求A,B两点间的距离., BAC=45,题型

3、分类 深度剖析,题型一 与距离有关的问题,如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。,.,.,A,B,.,.,D,C,基线,要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离. 分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解.,解 如图所示在ACD中， ACD=120，CAD=ADC=30， AC=CD= km. 在BCD中，BCD=45， BDC=75，CBD=60. 在ABC中，由余弦定理，得,练习1 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛 成6

4、0的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。,A,C,B,解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 ,解：如图，在ABC中由余弦定理得：,我舰的追击速度为14n mile/h,又在ABC中由正弦定理得：,0.6186,B 38013,故我舰行的方向为北偏东,11047,求距离问题要注意： （1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若 有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求 解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可 用，就选择更便于计算的定理.,(3)阅读

5、课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.,AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法,分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得,例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计

6、一种测量建筑物高度AB的方法,题型二 与高度有关的问题,练习1 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是,，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高为.,例2.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的 俯角分别是30，60,则塔高为多少米 解析 作出示意图如图， 由已知：在RtOAC中，OA=200， OAC=30，则OC=OAtanOAC =20

7、0tan 30= 在RtABD中，AD= ，BAD=30， 则BD=ADtanBAD=,练习2 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角75，在塔底C处测得A处的俯角45。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,解：在ABC中，BCA=90+=1350, ABC=90-=150, BAC=-=300, BAD=750. 根据正弦定理，,练习3 如图所示，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并 在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 解 在BCD中，CBD=-,解斜三

8、角形应用题的一般步骤是： （1）准确理解题意，分清已知与所求； （2）依题意画出示意图； （3）分析与问题有关的三角形； （4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案； （5）注意方程思想的运用； （6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,它等于地球椭圆子午线上纬度1分 （一度等于六十分，一圆周为360度） 所对应的弧长。,1海里=1.852公里(千米) (中国标准),n mile：海里，航海上度量距离的单位。 没有统一符号,例1 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该 渔轮在方位角为，距离为10n mile的 处，并测得渔轮正沿方

9、位角为105 的方向， 以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇 立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 0.1 ,时间精确到min）,方位角：指从正北方向 顺时针旋转到目标方向线 的水平角,题型三 与角度有关的问题,解：设舰艇收到信号后xh 在处靠拢渔轮，则 21x，x，又AC=10, ACB=45+(180 105)=120.,由余弦定理，得：,化简得：,解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）,由正弦定理，得,所以21.8，方位角为45 + 21.8 =66.8 ,答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行， 经过min就可靠近渔轮,练习

10、：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75，航行20 海里后，见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。,B,C,解： 在ABC中ACB=120ABC=15由正弦定理得：,由BC=20 ,可求AC 得AM= 8.978,无触礁危险,例2.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分

11、析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在ABC中求出BC， 再在BCD中求BCD.,则有CD=10 t，BD=10t. 在ABC中，AB= -1，AC=2， BAC=120, 由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6, BC= ， 即CBD=90+30=120， 在BCD中，由正弦定理，得 BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.,解:设缉私船用t h在D处追上走私船，,如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海 里的 B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即

12、 前往救 援.同时把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里 C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线 前往B处营救(角度精确到1).,练习2,如图:甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 处，此时两船相距20海里. 当甲船航行20分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？,例3,例4 如图所示，已知半圆的直径AB=2， 点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.,题型四 正、余弦定理