层合板的刚度与强度

1、复合材料结构设计,第三章 层合板的刚度与强度,3.1 对称层合板的面内刚度 3.2 对称层合板的弯曲刚度 3.3 一般层合板的刚度 3.4 层合板的强度,3.1 对称层合板的面内刚度,3.1.1 层合板的表示方法 3.1.2 面内力与面内应变的关系 3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数 3.1.4 面内刚度系数的计算 3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度 3.1.6 对称层合板面内刚度的转换,3.1.1 层合板的表示方法,层合板是由两层或者两层以上按不同方向配置的单层板层合形成的整体。,中面是距离层合板上下表面相等的面。 按照各单层板相对于中面的排列位置，层合板可分为对称层合板、非对称

2、层合板和夹心层合板3大类。,2020/7/6,4,3.1.1 层合板的表示方法,对称层合板是指层合板中面两侧对应处的各单层材料相同、铺层角相等的层合板。 目前，复合材料板一般都设计为对称层合板。,2020/7/6,5,(3-1),3.1.1 层合板的表示方法,2020/7/6,6,立体图示,平面图示,折线坐标图,3.1.1 层合板的表示方法,层合板的简明标记方法： 偶数层对称层合板：对称铺层只写出一半，括号外加写下标“s”表示对称。 奇数层对称层合板：在对称中面上的铺层用顶标“”表示。 非对称层合板，必须在标记中标明全部铺层组的铺设顺序。例如：05/902/45/90/03。这种层合板标记，仅

3、表明由底面向上至顶面的铺设顺序，而不能相反。,2020/7/6,7,3.1.1 层合板的表示方法,2020/7/6,8,3.1.1 层合板的表示方法,2020/7/6,9,3.1.1 层合板的表示方法,2020/7/6,10,3.1.1 层合板的表示方法,本章的任务： 采用宏观力学研究方法分析各向异性、分层均匀、连续的层合板在线弹性、小形变情况的刚度和强度。这种理论叫做经典层合理论。 层合板的刚度用层合板刚度系数、柔度系数和工程弹性常数3种形式给出。刚度系数为层合板内力-应变关系的系数，柔度系数为层合板应变-内力关系的系数。,2020/7/6,11,3.1.2 面内力与面内应变的关系,层合板面

4、内刚度的基本假设： 层合板只承受面内力作用，只引起面内形变，不引起弯曲形变；,2020/7/6,12,层合板为薄板，即板的厚度远远小于长度和宽度； 层合板各单层粘接牢固，具有相同的变形。层合板厚度方向上坐标为z的任一点的应变都等于中面的应变。,(3-2),3.1.2 面内力与面内应变的关系,图中的Nx, Ny, Nxy为面内力，即层合板内单位宽度上的内力。单位为帕米(Pa m)或牛顿/米(N/m)。,2020/7/6,13,定义任意一个单层k的应力为 此单层的厚度为dz 则k单层x方向的面内力为 将每一个单层的面内力叠加，得到厚度为h的层合板在x方向的面内力为：,3.1.2 面内力与面内应变的

5、关系,同理，可求出Ny和Nxy，即：,2020/7/6,14,(3-3),将式(2-9)代入式(3-3)，并考虑式(3-2)，可求出面内力和面内应变的关系。,3.1.2 面内力与面内应变的关系,求得：,2020/7/6,15,式中,(3-4),Aij称为层合板的面内刚度系数,且有Aij=Aji,将式(3-4)作逆变换，得到面内应变与面内力的关系：,(3-5),aij称为层合板的面内柔度系数,式中,(3-4a),3.1.2 面内力与面内应变的关系,为了使层合板的面内刚度能直接和单层的模量相比较，将层合板的面内刚度系数作正则化处理，将式(3-4)两端同时除以h：,2020/7/6,16,(3-6)

6、,式(3-4)和(3-5)可分别变形为：,(3-8),(3-7),3.1.2 面内力与面内应变的关系,2020/7/6,17,上一页中：,为正则化面内刚度系数,为正则化面内柔度系数,为正则化面内力，实质上就是对称层合板的平均应力，简称层合板应力，量纲为应力量纲(Pa或N/m2)。,当对称层合板为单向层合板时，正则化面内刚(柔)度系数变为单层的模(柔)量分量。,Coffee Break,瞄准沉寂的世界 噪声问题与人们的日常生活紧密相关。减小噪声的途径有：尽量吸收空气振动的能量；通过反射振动来隔音；消除机械振动这一噪声源。通过以上几种方法，采用纤维复合材料、多孔材料，或将两者进行组合的材料进行适当

7、的设计，可以达到减噪的目的。 吸音的基本原理是利用材料的黏性使振动衰减，或利用材料的内部摩擦来吸收能量。为了针对不同频率的声波进行吸音设计，且满足强度条件和加工制作的便利性，同时具有耐热和防火功能，则考虑复合结构是最有效的办法。如表面采用有孔材料、多孔材料、带涂料的薄膜等，背部采用多空材料等。,2020/7/6,18,3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数,当对称板仅受x方向单向拉伸(压缩)时， 式(3-8)变为：,2020/7/6,19,定义：,面内拉压弹性模量,面内泊松耦合系数,面内拉剪耦合系数,(3-9),3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数,2020/7/6,20,同理，仅受y方

8、向单向拉伸(压缩)时，,面内拉压弹性模量,面内泊松耦合系数,面内拉剪耦合系数,同理，仅受xy方向剪切应力时，,面内剪切弹性模量,面内剪拉耦合系数,面内剪拉耦合系数,(3-10),(3-11),3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数,当层合板具有正交各向异性的性能，且参考轴也正好与正交各向异性的主方向重合时， 则(3-9)(3-11)可表示为如下形式：,2020/7/6,21,(3-9a),式中,(3-10a),此时,(3-11a),3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数,根据式(3-9)(3-11)，将式(3-8)写成矩阵形式：,2020/7/6,22,(3-12),在已知层合板载荷条件时

9、，由上式求面内应变较为方便。在进行层合板设计时，使用工程弹性常数也较为方便。,3.1.4 面内刚度系数的计算,将式(2-16)代入(3-4a)，并考虑式(3-6)，得正则化面内刚度系数的计算式：,2020/7/6,23,(3-13),式中,(3-14),式中 为某一定向层的体积含量，ni为某一定向层的层数，l为定向数。,3.1.4 面内刚度系数的计算,式(3-14)称为正则化的几何因子，分别表示层合板中各单层方向倍角或4倍角的正弦或余弦函数的算术平均值。对于偶数层的对称层合板，还可以写为如下的和式：,2020/7/6,24,(3-15),式(3-14)和(3-15)是算术平均值的含义，因此还可

10、变形为：,(3-16),3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,正交铺设对称层合板 各个单层只按0 o和90 o方向铺设的对称层合板称为正交铺设对称层合板。 由式(3-16)可得：,2020/7/6,25,按式(3-13)，并利用式(2-17)，得到：,(3-17),(3-18),3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,由式(3-18)可看出：,2020/7/6,26,随V(90)的增加从Q11线性减小到Q22,随V(90)的增加从Q22线性增加到Q11,不变，分别为单层材料的模量Q12和Q66,即无拉剪和剪拉耦合效应,由正则化面内刚度系数矩阵求逆，可得正则化面内柔度系数矩阵为：,(3-1

11、9),3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,2020/7/6,27,2) 斜交铺设对称层合板 凡各个单层只按两种方向铺设的对称层合板称为斜交铺设对称层合板。 两种方向的层数相同，则称为均衡斜交铺设对称层合板 两种方向层数不同，则称为非均衡斜交铺设对称层合板 本书研究的是均衡斜交铺设对称层合板。,式(3-16)可变为：,(3-20),3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,2020/7/6,28,将式(3-20)代入式(3-13)，并与式(2-17)比较，得：,(3-21),式中上标表示铺层角为时单层的偏轴模量分量。,3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,2020/7/6,29,3)

12、准各向同性层合板 面内各个方向的刚度相同，且无拉剪或剪拉耦合效应的对称层合板称为准各向同性层合板。 这种层合板与各向同性层合板的区别是： 它可以是由正交各向异性的单层组成的； 它的厚度方向上的刚度不一定与面内刚度相同； 它的弯曲刚度性能也不是各向同性的。,3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度,2020/7/6,30,4) 一般/4层合板 各个单层均按0 o、90 o 、45 o和-45 o方向的一种或几种铺设的对称层合板称为一般/4层合板。一般/4层合板是目前工程上主要应用的一类层合板。,试确定T300/4211复合材料构成的06/906s在正则化面内力 作用下的各层应力和应变，并按最大应

13、力失效准则校核强度。已知安全系数n=2。 解：1) 计算 根据式(3-18)得：,例题3.1,2020/7/6,31,例题3.1,2020/7/6,32,2) 计算,例题3.1,2020/7/6,33,3) 计算面内应变 根据式(3-8)得：,例题3.1,2020/7/6,34,4) 计算各层应变 0o层, 90o层,例题3.1,2020/7/6,35,5) 计算各层应力 0o层, 90o层,例题3.1,2020/7/6,36,6) 各层强度校核 查表得：,许用应力为：,因为,所以，层合板06/906s的各层均安全！,3.1.6 对称层合板面内刚度的转换,前述对称层合板的面内刚度是参考轴x设在

14、所述层合板中单层方向的0 o向给出的，为此，需要讨论层合板在任意参考轴下的面内刚度。 设：,2020/7/6,37,则有：,(3-22),(3-23),3.1.6 对称层合板面内刚度的转换,2020/7/6,38,式(3-13)可以改写为：,(3-24),且有：,例题3.2,试求斜交铺设对称层合板30/-30s的相位角。 解：根据式(3-20)有,2020/7/6,39,又根据式(3-22)可知,3.2 对称层合板的弯曲刚度,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系 3.2.2 对称层合板的弯曲工程弹性常数 3.2.3 弯曲刚度系数的计算 3.2.5 对称层合板弯曲刚度的转换,曲率及其计算公式,202

15、0/7/6,41,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,曲率及其计算公式,2020/7/6,42,半径为R 的圆上任意点处的曲率 :,如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系,作如下假设来近似处理层合板的弯曲问题： 1.层合板的刚度是中面对称的，弯曲时几何中面就是中性曲面，即在小变形情况下几何中面各点没有平行于中面的位移。 2.直法线假设：弯曲前层合板内垂直于几何中面的直线段在弯曲

16、后仍保持为垂直于弯曲后中面的直线，且直线段的长度不变。 3.忽略z，各铺层按平面应力状态进行分析。,2020/7/6,43,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系,2020/7/6,44,w是对应于z轴方向的位移 u是对应于x轴方向的位移 v是对应于y轴方向的位移 根据假设2，,根据以上假设，定义：,所以位移w与坐标z无关，仅为x和y的函数，即w=w(x, y) 同样根据假设2，中面法线变形后仍为中面法线，故得 xz=yz=0,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系,2020/7/6,45,即,对z求积分，得,依据假设1，在z0处，u=v=0,所以c1(x,y)=c2(x,y)=0 由此，可以用位移w来表

17、达其他应变分量。,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系,2020/7/6,46,根据微分几何可知：,分别为层合板的曲率和扭率Kx、Ky、Kxy。 所以上式可写为x=zKx y=zKy xy=zKxy 为了确定层合板的弯曲刚度，需定义引起弯曲变形的力矩，它 们是层合板各铺层应力的合力矩。,3.2.1 弯曲力矩与曲率的关系,2020/7/6,47,依据假设3，将各铺层应力应变关系式代入，得,即,由于kx 、ky 、kxy与坐标z无关，所以上式可写成下式：,式中,称为层合板的弯曲刚度系数， 而且Dij=Dji,(3-25)就是对称层合板的弯曲力矩曲率关系式。,(3-25),(3-26),3.2.1 弯曲

18、力矩与曲率的关系,2020/7/6,48,为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易 于比较，以及与单向层合板相关联，因此进行正则化处理， M*=6M/h2 K*=Kh/2 Dij*=12Dij/h3 正则化弯曲力矩M*在数字上相当于假设弯曲变形引起的 应力为线性分布时的底面应力。 正则化曲率k*是弯曲变形引起的底面应变。,【注意】对称层合板的应变是线性分布的，而应力一般不是 线性分布的，所以kx*是底面的真实应变，而Mx*一般不是底 面的真实应力。 如果对称层合板为单向层合板，则弯曲时应力沿厚度 是线性分布。Mx*、My*、Mxy*也就变成底面的真实应力。,3.2.1 弯曲力矩与曲率的

19、关系,所以式(3-25)可变为：,2020/7/6,49,作逆变换得：,(3-27),(3-28),Dij*和dij*分别称为层合板的正则化弯曲刚度系数和正则化弯曲柔度系数。,3.2.2 对称层合板的工程弹性常数,类似于前面求工程弹性常数的方法，可在式(3-28)中： 1) 令,2020/7/6,50,定义x轴向：,弯曲弹性模量,弯曲泊松耦合系数,弯扭耦合系数,(3-29),3.2.2 对称层合板的工程弹性常数,2020/7/6,51,同理，y方向上有：,同理，xy方向上有：,弯曲弹性模量,弯曲泊松耦合系数,弯扭耦合系数,(3-30),扭转弹性模量,扭弯耦合系数,扭弯耦合系数,(3-31),3

20、.2.2 对称层合板的工程弹性常数,若层合板具有弯曲正交各向异性性能，且参考轴也正好与弯曲正交各向异性的主方向重合，此时有,2020/7/6,52,则(3-27)(3-30)可表示为如下形式：,(3-32),式中,(3-33),此时,(3-34),3.2.3 弯曲刚度系数的计算,2020/7/6,53,将式(2-16)代入(3-26)，并考虑式Dij*=12Dij/h3, 得正则化面内刚度系数的计算式：,(3-35),式中,(3-36),3.2.3 弯曲刚度系数的计算,2020/7/6,54,式(3-36)称为弯曲刚度系数的正则化几何因子。对于偶数层的对称层合板，还可以写为如下的和式：,(3-

21、37),式中n是层合板中单层的总数。k是从中面至底面的顺序。,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,单向层合板 对于单向层合板，有：,2020/7/6,55,如果将参考坐标系置于单向层合板的正轴方向，则由于单层的正轴模量分量,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,2020/7/6,56,此时：,(3-38),(3-39),3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,2) 正交铺设对称层合板 正交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在同样的定向层数比，即0与90层的层数比为一定的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的弯曲刚度系数。例如04/904s、02/9022s、0/904s，它们的总数

22、都是16层，单层组数分别为m=2, m=4, m=8。 根据式(3-37)可得：,2020/7/6,57,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,所以，上述规则正交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数为：,2020/7/6,58,(3-40),对于层数比为1:1的正交铺设对称层合板，,此时：,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,3) 斜交铺设对称层合板 斜交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在两种方向的层数相同的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的弯曲刚度系数。例如4/-4s、2/-22s、/-4s，它们的总数都是16层，单层组数分别为m=2, m=4, m=8。 根据式(3-37)可

23、得：,2020/7/6,59,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,2020/7/6,60,所以，上述斜交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数为：,(3-41),对于层数比为1:1的正交铺设对称层合板，,此时：,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,2020/7/6,61,4) 准各向同性层合板 仅讨论一类总层数为24层，按如下规律铺设得到的准各向同性层合板-604/04/604s, -602/02/6022s, -60/0/604s,它们的单层组数分别为m=3, m=6, m=12。 根据式(3-37)可得：,3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度,2020/7/6,62,所以，上述

24、准各向同性对称层合板的正则化弯曲刚度系数为：,(3-42),3.2.5 对称层合板弯曲刚度的转换,2020/7/6,63,前述对称层合板的弯曲刚度是参考轴x设在所述层合板中单层方向的0 o向给出的，为此，需要讨论层合板在任意参考轴下的弯曲刚度。 设：,(3-43),(3-44),3.2.5 对称层合板弯曲刚度的转换,2020/7/6,64,式(3-35)可以改写为：,且有：,1D与2D称为正则化弯曲刚度系数转换的相位角,(3-45),(3-46),思考题,设有T300/4211复合材料正交铺设对称层合板04/904s制成的梁，截面尺寸为b=0.01m，h=0.0017m，跨度l=0.1m，梁的

25、中点载荷P=10N。试求梁中点的正则化曲率。,2020/7/6,65,3.3 一般层合板的刚度,3.3.1 内力-应变关系 3.3.2 一般层合板的工程弹性常数 3.3.3 一般层合板刚度系数的计算 3.3.5 一般层合板耦合刚度的转换 3.3.6 平行移轴定理,3.3.1 内力-应变关系,前面我们讨论的是对称层合板，因此，当受有面内力时将引起面内变形而无弯曲变形，当受有弯曲力矩时将引起弯曲变形而无面内变形。但对于非对称层合板，一般情况下，面内力还将引起弯曲变形，或弯曲力矩还将引起面内变形，即存在拉弯耦合或弯拉耦合。所以，一般层合板的刚度系数除了面内刚度系数和弯曲刚度系数外，还存在耦合刚度系数

26、。,3.3.1 内力-应变关系,3.1介绍面内力与面内应变的关系 3.2介绍弯曲力矩和曲率的关系 本节，面内力和弯曲力矩统称为内力(广义内力)，面内应变和曲率统称为应变(广义应变),2020/7/6,68,利用前两节中介绍应变关系，可得到一般层合板的应变关系为：,(3-47),3.3.1 内力-应变关系,2020/7/6,69,将式(3-47)代入面内力和弯曲力矩的定义式，得到一般层合板的内力-应变关系为：,(3-48),式中,称为层合板的耦合刚度系数,(3-49),3.3.1 内力-应变关系,对式(3-49)作正则化处理：,2020/7/6,70,(3-50),则式(3-48)可变为如下正则

27、化形式：,(3-51),或简写为：,(3-52),3.3.1 内力-应变关系,2020/7/6,71,(3-53),对式(3-51)作逆变换，得到：,3.3.1 内力-应变关系,2020/7/6,72,或简写为：,(3-54),式中：,(3-55),是正则化面内柔度系数 是正则化耦合柔度系数 是正则化弯曲柔度系数,(3-56),且有：,3.3.1 内力-应变关系,2020/7/6,73,除了ij*以外，其它的刚度和柔度系数均具有对称性 Aij*=Aji* Bij*=Bji* Dij*=Dji* ij*=ji* ij*=ji*,若为对称层合板，由于B*=0，所以,特别注意：,(3-58),(3-

28、57),即对称层合板不存在拉弯耦合。对称层合板同时受有面内力和弯曲力时，只需分别求其应变，然后叠加即可。,3.3.2 一般层合板的工程弹性常数,对称层合板中的面内工程弹性常数和弯曲工程弹性常数，在一般层合板中同样存在，只不过aij*和dij*分别被ij*和ij*代替。除此之外，一般层合板还存在面内形变和弯曲形变之间的18个耦合工程弹性常数：,2020/7/6,74,拉弯耦合系数,拉扭耦合系数,剪弯耦合系数,剪扭耦合系数,(3-59),(3-60),(3-61),(3-62),弯剪耦合系数,3.3.2 一般层合板的工程弹性常数,2020/7/6,75,弯拉耦合系数,扭拉耦合系数,扭剪耦合系数,(

29、3-59),(3-60),(3-61),(3-62),一般层合板的刚度系数、柔度系数和工程弹性常数均有36个，其中独立的个数为18.,3.3.3 一般层合板刚度系数的计算,一般层合板面内刚度系数与弯曲刚度系数的定义表达式与对称层合板相同，由于一般层合板不存在中性对称性，所以计算正则化几何因子时必须改用如下形式的公式：,2020/7/6,76,(3-63),3.3.3 一般层合板刚度系数的计算,2020/7/6,77,(3-64),3.3.3 一般层合板刚度系数的计算,将式(2-16) 代入式(3-49)，并作正则化处理，得到：,2020/7/6,78,(3-65),式中：,(3-66),3.3

30、.3 一般层合板刚度系数的计算,对于偶数层的对称层合板，(3-66)式可写成：,2020/7/6,79,(3-67),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,规则非对称正交铺设层合板 讨论按如下规则铺设得到的层合板：08/908T，04/9042T ，02/9024T ，0/908T，它们的单层组数分别为m=2,4,8,16。 按式(3-63)和式(3-13)计算Aij*,2020/7/6,80,(3-68),按式(3-64)和式(3-35)计算Dij*,(3-69),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,81,按式(3-67)和式(3-65)计算Bij*,(3-70),(3-71

31、),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,综合式(3-68), (3-69)和(3-71)可得非对称正交铺设层合板的正则化内力-应变关系可写为：,2020/7/6,82,(3-72),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,83,(3-73),将式(3-72)的行和列作适当调整，可写为：,3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,84,(3-74),将式(3-73)求逆，可得：,可见，面内剪切或扭转变形时均不与其它变形耦合。,3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2) 规则反对称层合板 讨论按如下规则铺设得到的层合板：-8/ 8T，- 4/ 42T ，- 2/ 24T ，

32、- / 8T，它们的单层组数分别为m=2,4,8,16。,2020/7/6,85,(3-75),(3-76),(3-77),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,86,综合式(3-75), (3-76)和(3-77)可得规则反对称层合板的正则化内力-应变关系可写为：,(3-78),3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,87,(3-79),将式(3-78)的行和列作适当调整，可写为：,3.3.4 两种非对称层合板的刚度,2020/7/6,88,将式(3-73)求逆，可得：,可见，面内剪切或扭转变形时均不与其它变形耦合。,(3-80),3.3.5 一般层合板耦合刚度的转换,2020/7/6,89,前述一般层合板的刚度是参考轴x设在所述层合板中单层方向的0 o向给出的，前面已经讨论过面内刚度和弯曲刚度的参考轴的转换关系，为此，需要讨论层合板在任意参考轴下的耦合刚度转换关系。 设：,(3-81),(3-82),Coffee Break,绿色复合材料 材料是工业技术和人类生活质量得以发展的支柱，同时它也是造成环境污染的主要根源。复合材料一般很难进行再生利用和回收。如热固性树脂一经固化就不能进行再利用。复合材料的整体成型可节省制作过程中的能源消耗