电动力学 第四章 电磁波的传播

1、第四章 电磁波的传播,4 谐振腔,2 电磁波在介质界面上的反射和折射,3 有导体存在时电磁波的传播,1 平面电磁波,5 波导,电磁波的波段划分及其应用,名 称 频率范围 波长范围 典型业务 甚低频VLF超长波 330KHz 10010km 导航，声纳 低频LF长波，LW 30300KHz 101km 导航，频标 中频MF中波, MW 3003000KHz 1km100m AM, 海上通信 高频HF短波, SW 330MHz 100m10m AM, 通信 甚高频VHF超短波 30300MHz 101m TV, FM, MC 特高频UHF微波 3003000MHz 10010cm TV, MC,

2、GPS 超高频SHF微波 330GHz 101cm SDTV, 通信,雷达 极高频EHF微波 30300GHz 101mm 通信, 雷达 光频 光波 150THz 3000.006m 光纤通信,中波调幅广播（AM）：550KHz1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz30MHz 调频广播（FM）：88MHz108MHz 电视频道（ TV）：50MHz100MHz ; 0MHz220MHz 470MHz870MHz 无绳电话(Cordless Phone)： 50MHz; 900MHz; 2.4GHz 蜂窝电话(Cellular Phone)： 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz

3、 卫星TV直播（SDTV）：4GHz6GHz; 12GHz14GHz 全球卫星定位系统（GPS）：L1 =1575.42MHz L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902928MHz，2.42.4835GHz，5.725 5.850GHz,（1）,在介质中，麦克斯韦方程组为,1 平面电磁波,1.1 电磁场波动方程,在无电荷和电流(J =0, = 0）空间，或均匀介质空间，麦氏方程组变为,（2）,对方程 两边取旋度有,因为,（a）,（b）,将式(b)代入式(a)得电场矢量的波动方程：,（3）,同理,对 两

4、边取旋度后，得磁场矢 量的波动方程：,1、式(3)，(4)为电磁场 的矢量波动方程！表示时变电磁场以波的形式在空间传播，其波速为,讨论：,（4）,（5）,2、在介质中：当一定角频率 的电磁波入射介质时，介质的 不再是常数：,称为介质的色散。这时， 线性 关系不成立，而变为,这时，不能推出电场 和磁场 的波动方程。,电磁场矢量以一定频率作正弦振荡的电磁波称为 时谐电磁波（正弦电磁波、单色波）。,(1),1.2 时谐电磁波,正弦电磁场用复数表示为,一定频率下， 成立。,一、 时谐电磁波,二、 时谐电磁波的麦克斯韦方程组,（2）,将式(1)代入上节麦克斯韦方程组式(2)后，消去 ，得正弦电磁波的麦氏

5、方程的复数形式：,分别是电场强度、磁感强度的复数形式,，或称为复数电场强度矢量、复数磁感强度矢量。,正弦时谐电磁波的麦氏方程复数形式：,一般时变电磁场的麦氏方程形式：,比较：,麦氏方程的一般时变形式与时谐复数形式不同！,三、正弦电磁波的波动方程（亥姆霍兹方程）,对正弦电磁场的复数形式：,（a）,将式(a)代入上节 ，得正弦电 磁波电场的波动方程复数形式：,（b）,将式(a)代入上节 ，得正弦电 磁波磁场的波动方程复数形式：,（c),上面的式(b)中的电场 和式(c)中的磁场 还满足下式(3)：,（3）,总结：在一定频率下，麦氏方程组可化为下面 两组方程(4)和式(5)：,（4）,（5）,上面方

6、程组(4)或(5)，是一定频率下的正弦电磁 波基本方程。其解 满足 ， 是正弦电磁场在空间的分布情况。,平面电磁波：电磁场振荡的等相位面是平面！,均匀平面波：波阵面为平面，在同一波阵面上的各点电磁场量相等！,1.3 平面电磁波,一、平面电磁波的方程,正弦电磁波电场的波动方程为,（a）,设平面正弦波沿+X 轴传播，电场强度仅有y分量：,（b）,将式(b)代入式(a)得电场强度复数形式 满足 方程是,k 称为波数或相位常数!,式(c)解为：,（c）,（d）,将式(d)代入电磁感应定律 ，得磁场 强度的复数形式：,称为介质的波阻抗！,（e）,电场强度和磁场强度的复数形式：,（1）,二、平面电磁波的传

7、播特性,1、电场、磁场与波传播方向两两相互垂直，满足右手关系，是横电磁波(TEM波)!,电场强度和磁场强度的实数形式：,（2）,证明特性1：,因为,（b）,（a）,将电场强度复数形式 代入式(a)得,由矢量等式：,（c）,将式(c)代入式(b)得：,0,总结有,（3）,（d）,式(d)表示：电场与波传播方向垂直！,2、相位、振幅特性 电场强度、磁场强度同相变化！即同频率、同相位。电场的振幅与磁场的振幅比值： 称为媒质的波阻抗(本征阻抗)。真空的波阻抗为,（4）,3、波速（相速）,平面正弦电磁波的等相位面方程为,上式两端对时间求导得相速（相位传播速度）：,空间相位kz变化2所经过的距离称为波长，

8、以表示，按此定义有k=2，所以,（5）,或,理想介质中的平面电磁波,在直角坐标系中，均匀平面波沿+X方向传播，电场强度只有y分量，即,三、沿任意方向传播的平面电磁波,下面考虑沿任意方向传播的均匀平面电磁波：,设传播方向的单位矢量为 ，定义波矢量 为,和 在同一波阵面上，它们的电磁场和相位相同， 点的电场和磁场为,K是波数或相位常数。,波矢量：,相位因子,（6）,波矢量直角坐标分量满足：,沿任意方向传播的均匀平面电磁波电场和磁场为,（7）,式(7)表示：电场波动是横波，可在垂直于传播方向的任意方向上振荡，存在两个独立的振荡方向，即存在两个独立的偏振波。,1.4 电磁波的能量和能流,电磁场的瞬时能

9、量密度为,对于平面电磁波有：,一、平面电磁波的瞬时能量密度和瞬时能流密度,（a）,（b),将(b)代入式(a)得,（1）,（c）,电磁场的瞬时能流密度为,将 代入式(c)得,（3）,（2）,平面电磁波的瞬时能量密度与瞬时能流密度的 关系为,0,二、平面电磁波的平均能量密度和平均能流密度,平面电磁波的平均能量密度为,（4）,平面电磁波的平均能流密度为,（5）,上面式(4)和(5)也可用下面式(6)求得。,（6）,“*”表示对电场和磁场求复共轭。,其中：,例1、已知无界理想媒质(=90, =0，=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f =108 Hz， 电场强度复数形式,求：(1) 均匀平面电磁波的相速

10、度vp、波长、相移常数k和波阻抗； (2) 电场强度和磁场强度的实数表达式； (3) 平均能流密度。,（a）,解： (1) 均匀平面电磁波的相速度vp 、 波长、相移常数k和波阻抗 ,(2) 电场强度和磁场强度的瞬时表达式,将式(a)代入得磁场强度的复数形式：,将式(a)和(b)代入下式得电场和磁场的实数形式：,（b）,（3）将式(a)和(b)代入下式得平均能流密度：,2 电磁波在介质界面上的反射和折射,2.1 反射和折射定律,两个理想介质分界面的电场和磁场的边界条件：,对正弦电磁波，由切向边界条件可以导出法向边 界条件，故只需考虑切向边界条件：,（1）,一、相位匹配条件,设介质1、2的分界面

11、为无穷大平面，平面入射 波、反射波、折射波分别为,介质1内总电场强度是入射波 和反射波电场强度的叠加：,介质2内总电场强度是 折射波电场强度：,（a）,（b）,入射波： 反射波： 折射波：,（c）,（d）,将式(b)、(c)代入 得：,将式(a)代入式(d)得：,（e）,下标“t” 表示平行分界面的切向分量。,如图，两种介质分界面是 平面，将 代入边界条件式(e)得：,（f）,在 分界面上，上式(f)对任意点 都成立 ，必须指数相等：,（2）,（3）,式(2)是相位匹配条件。式(2)表示：入射波、反射波、折射波的传播波矢量 沿分界 面的切向分量相等！即：,式(2)表示：入射波、反射波、折射波的

12、传播波 矢量 沿分界面的切向分量相等！,入射波,反射波,折射波,二、反射和折射定律,入射波和反射波的波数和波长相等：,折射波的波数为：,（4）,（6）,由式（4）和（5），得,（5）,式中，介质的相对折射率 。频率不同时，折射率也不同，这是折射时的色散现象。非铁磁 质有 ，非铁磁质的相对折射率为,入射波、反射波、折射波在 XZ 平面。由图得入射波、反射波、折射波的传播波矢量的X分量：,（7）,（g）,由式(2)、(4)和(g)得,这就是熟知的反射定律。,这就是熟知的折射定律。,由式(2)、(4)、(5)和(g)得,2.2 振幅关系 菲涅耳公式,一、电场垂直入射面的电磁波斜入射,在分界面上电场和

13、磁场切向边界条件为,（a）,（b）,将(c)代入式(b)得：,因为,（c）,解(a)、(d)两式，并利用折射定律，得,（d）,反射系数：,透射系数：,（1）,在分界面上电场和磁场切向边界条件为,（a）,（b）,二、电场平行入射面的电磁波斜入射,因为,将(c)代入式(b)得：,(c),（d）,解(a)、(d)两式， 并利用折射定律，得,反射系数：,透射系数：,式(1)和(2)称为菲涅耳公式，它表示反射波、 折射波与入射波电场强度（或磁电场强度）的 比值。,（2）,三、对菲涅耳公式的讨论,1、布儒斯特定律,当 时， ，由式 (2),称为布儒斯特角。,令,即电场平行入射面的入射波入射时，无反射波，

14、入射波全部透射，变成透射波！ 由折射定律：,结论：电场平行入射面的入射波入射，当入 射角等于布儒斯特角时，无反射电磁波！产 生全透射现象，这就是光学的布儒斯特定律。,当 ，即入射波从波疏介质入射到波密介 质时，由折射定律,2、半波损失,得入射角大于折射角：,（a）,（b）,将式(a)代入 得：,式(b)表示入射波电场与折射波电场方向(相位) 相反，它们的相位差是 ，对应于半个波长， 说明电场垂直入射面的入射时，反射波有半波 损失。,由折射定律 ，当入射角是临界角：,称为全反射的临界角。折射角，即 折射波沿分界面传播。当入射角 ，这时 发生全反射。由折射定律知,2.3 全反射,没有实数的折射角，

15、折射角是虚数！ 这时假设入射波电场与折射波电场的形式上仍是:,边值条件（相位匹配条件）的形式上仍是：,以上两式相除，得,（a）,（b）,在 时，由式(b)得 ，因而,将式(c)代入式(a)得折射波变为,是正实数。,是虚数。,（c）,（1）,式(1)表示：当 时，发生全反射，折射波沿x方向传播，但振幅沿z方向衰减！若 足够大，则透射波振幅沿z方向衰减愈快，即透射波沿分界面在一薄层内传播，称为表面波！,全反射时的折射波的等相位面及等振幅面,折射波 表面波！,反射波,入射波,当 ，振幅衰减为 倍, 称为穿透深度：,（2）,式(1)表示： ，衰减很快，可以认为折射波 不存在。用菲涅耳公式可以证明，反射

16、系数为1。,即入射波能量全部反射到波密介质中去。,（3）,因为电荷守恒：,将式（b）代入式(a)得：,（c）,（a）,（b）,3 有导体存在时电磁波的传播,3.1 导体内的自由电荷分布,静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷分布在导 体表面。对时变电磁场，导体上电荷怎样分布？,是 时自由净电荷密度。 结论：均匀导体内部无自由净电荷分布！净电荷只分布在均匀导体外表面！,又因为,将式(d)代入式(c)得,（d）,积分上式得自由净电荷密度随时间变化为：,当,（1）,衰减的时间特征值( 减小到 的时间)是：,（2）,只要电磁波频率 或 （良导体），就 可认为 。对于一般金属导体， ，只 要 （X射线），一

17、般金属导体都可视为 良导体。即良导体内没有自由净电荷分布，自由 净电荷分布在导体表面。,导体： 是实常数!,3.2 导体内的电磁波,导体内： ，麦氏方程组为,正弦时谐电磁波的麦氏方程的复数形式：,一、导体的复数电容率 (等效电容率),（b）,（a）,（c）,（d）,式(a)改写为： 导体的复数电容率 (等效电容率)：,（1）,（a）,导体中,理想介质中,理想介质和导体中磁场安培环路定理方程的形式 完全一致。,理想介质的电容率是实数！,导体的电容率是复数！,复数电容率的物理意义：,电流热损耗瞬时 电流热损耗平均 功率密度 功率密度,上式表示：位移电流没有功率热损耗，传导电 流有功率热损耗。,位移

18、电流 和传导电流 的热损耗平 均功率密度分别为：,波数是复数！,导体中,理想介质中,波数是实数！,波动方程,比较正弦电磁波在理想介质和导体中满足的方程：,二、导体中的平面电磁波方程,复数波数：,令平面电磁波沿z轴传播，电场只有x轴分量。导体中电场的复数形式：,（2）,令,，式（a）变为,由(2)可见，复数波数，其实部 为 相位常数，表示相位的落后！虚部 为衰减常 数，表示振幅随传播衰减!,（a）,将式(b)展开后，比较实部和虚部，得,由式(c)解得 和 为,（3）,（b）,（c）,因为,所以,三、导体中平面波的特性 导体中电场和磁场的复数形式： 导体的波阻抗：,（4）,其中， 由式(4)得电场

19、和磁场的实数形式： (5)式表示：导电媒质中电磁波是TEM波！但电场 与磁场的相位不同(电场相位超前磁场相位 ）！,（5）,理想介质中的平面电磁波的波形,导体中的平面电磁波的波形,时变电磁场中,利用传导电流密度振幅 和位移电流密度振幅 的比值 来对导电介质分类!,（1）,一、介质分类,不良导体(如半导体)：,导电很差的电介质：,3.3 趋肤效应和穿透深度,良导体(如金属)：,二、趋肤效应和穿透深度,对良导体 ， 近似简化为：,（2）,良导体中电场和磁场强度的实数形式：,（3）,式(3)中：,式(3)表示：高频电磁波和它相作用的高频电流在 良导体中衰减很快!只存在于良导体表面的薄层内， 这种现象

20、称为趋肤效应，这是用金属来屏蔽高频 电磁波的原理。良导体的穿透深度(趋肤深度)为,（4）,式(4)表示：良导体电导率越大，电磁波频率越高，穿透深度越小 !,穿透深度：电磁波进入良导体后，电场强度振幅衰减到表面处电场强度振幅的 所经过的距离！,良导体,式（4）推导：,例如：银的电导率= 6.15 107 S/m，磁导率0 =410-7 H/m，电磁波频率f =3GHz,得穿透深度=1.17m,由,由式(3)：,得磁场振幅远大于电场振幅：,上式表示：在金属导体中，磁场远比电场重要，金属内电磁波能量主要是磁场能量！,例1、海水的电磁参数是r=81、r=1、= 4 S/m，频率为3 kHz和30 MH

21、z的电磁波在紧切海平 面下侧处的电场强度为1V/m，求：电场强度衰减 为1V/m 处的深度，应选择哪个频率进行潜水 艇的水下通信。 ,解： (1) f =3kHz =3 103Hz,海水对以该频率传播的电磁波表现为良导体！,(2) f = 30 MHz =3 107Hz,海水对以该频率传播的电磁波表现为不良导体！,由此知，选高频30MHz的电磁波衰减较大，应采用低频3kHz的电磁波。在具体的工程应用中，具体低频电磁波频率的选择还要全面考虑其它因素。,设z = 0为分界面，入射波电场强度只有x分量，沿 z 正向垂直入射到导体表面。,入射波电场和磁场复数表式：,（1）,3.4 平面电磁波在导体表面

22、的反射,反射波电场和磁场复数表式：,（2）,良导体,真空,良导体中折(透)射波的电场和磁场复数表式为,k2 和c 为良导体的波数和波阻抗。,k1 和1 为真空的波数和波阻抗。,（3）,z=0分界面磁场强度切向分量相等的边界条件H1y=H2y！有,z=0分界面电场强度切向分量相等的边界条件 E1x=E2x！有,（4）,由式(a)和(b)解得反射系数(复数)：,（a）,（b）,反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度比值！,反射率(功率反射系数)是反射波平均能流与入射 波平均能流比值：,上式表示：电导率愈高，反射系数愈接近于1。对波长较长的微波，反射系数接近1。因此对微波，将金属近似为理想

23、导体,透射率(功率透射系数)是透射波平均能流与入射 波平均能流比：,导体内部沿任意方向正弦时谐电场的复数形式：,复数波矢量： 代入上式得,由此可见，复波矢 的实部 描写波传播 的相位关系，称为相位常数；虚部 描述波 振幅的衰减，称为衰减常数。,矢量 和 的方向不同，只有电磁波垂直入射 导体表面时，它们的方向一致。因此，在任意入 射角情形下， 垂直于表面， 接近法线方向，穿透深度仍为,例1、 计算高频电磁波时良导体的表面电阻。,解： 由于趋肤效应，高频电磁波入射到导体表 面时，只在导体表面薄层内有电磁场和电流。取 轴指向导体内部。导体内 处瞬时电场为,这电流分布在表面附近厚度 薄层内，可以把这薄

24、层内电流,导体内 处瞬时电流体密度为,看作面电流。瞬时面电流密度等于在薄层内把 对 积分：,其中 是在导体表面上的电场值。,是面电流密度的幅值。,单位面积,导体内单位体积热损耗瞬时功率(瞬时功率密度)为,导体内单位体积热损耗平均功率(平均功率密度)为,导体表面单位面积 热损耗平均功率为,将 代入式（1）得,将 代入式（2）得,（1）,（2）,上式表示：在高频下导体的电阻相当于厚度为 的薄层的直流电阻(表面电阻),总结 良导体中的平面电磁波特性是： 1、电场与磁场不再同相变化的横电磁波！ 2、波振幅随传播距离按指数性地衰减！ 3、在良导体中电磁波的传播表现出趋肤效应！ 随频率增大而迅速衰减，使高

25、频电磁波无法 在在良导体中传播！,4 谐振腔,4.1 有界空间中的电磁波,电磁波在无界空间中传播是平面电磁波，称为 横电磁波（TEM）。 4 和5讨论电磁波在 以导体为边界的有界空间传播。,4.2 理想导体边界条件,一、边值关系,正弦时谐的电磁波，电场和磁场的边界条件：,对正弦电磁波，由切向边界条件可以导出法向边 界条件，故只需考虑切向边界条件：,（1）,理想导体切向边界条件：,理想导体表面上：电场线垂直导体表面（ ） ，磁感应线平行导体表面（ ）。,二、辅助边界条件,辅助条件(电场高斯定理) 在导体表面附近表为,（2）,式(2)表示：电场垂直导体表面的法向分量沿法向 求方向偏导等于零，称为辅

26、助边界条件! 式（2）推导： 因为在导体表面附近有：,导体表面,在导体表面附近有：,（2）,导体表面,写成一般形式,例1、证明两平行无穷大导体平面之间只能传播 一种偏振方向的横平面电磁波TEM。,解： 设两导体板与 轴垂直。平面电磁波沿Z 轴传播。在两导体平面上，电磁场边界条件为,在两导体间的电磁场也为：,电场线垂直导体表面，磁感应线平行导体表面。,所以，在两导体间沿z轴方向只能传播一种偏振 方向的平面横电磁波（即电场线垂直导体表面，磁感应线平行导体表面的平面横电磁波）。,4. 3 谐振腔（微波段高频电磁波的激发器件）,空腔谐振器的一般概念 振荡LC电路的谐振频率 ，当频率增大 时，为了减小回

27、路电感L，线圈减小成一条金属 片。当频率继续增大，用多条金属片并联来减小 回路电感L。最后，当频率进一步再增大，就形 成空腔谐振器，称谐振腔。谐振腔是一个完全用 金属面封闭的空腔！ 谐振腔是微波系统中的最基本的元件，有储存 微波能量和选择微波频率的作用！,腔内的电磁振荡的激励，以及将其振荡能 量耦合到外部电路，可通过腔体壁的小孔 或腔内的探针(或耦合环)来实现。 空腔谐振器内的主要特性物理量： 1、谐振波长和谐振频率 谐振波长 是在谐振器中工作模式的电磁场 发生谐振时的波长。频率 称为谐振频率。谐振频率(谐振波长)由谐振腔的结构形状、尺寸大小及工作模式决定！,2、固有品质因数 品质因数是表征谐

28、振器的频率选择性和谐振 器的能量损耗。其定义为：,式中， 为谐振圆频率， 为谐振器内储存的 平均电磁能， 为系统中每秒的电磁能量损耗。 与外界无耦合的孤立谐振器的品质因数称为固 有品质因数！用表示。这时， 仅包括 谐振器本身的损耗(导体损耗、介质损耗等)。,（1）,（2）,谐振腔内电磁场作正弦时谐振荡，电场和磁场空 间分布满足方程：,将式(a)代入式(1)，(2)得电场、磁场的直角坐 标x、y、z分量满足方程：,（a）,（b）,代表电场 和磁场 的任一直角,用分离变量法求式(b)的解。设,将式(c)代入式(b)得：,(c),(d),坐标 x、y、z分量。,求出式(d)的解后，代入式(c)得驻波

29、解为：,式中： 、 是待定量，由边界条 件定出。,由边界条件： ， ，即,(3),(e),当取 。在(e)式中，由边界条件： 处， ，得 ； 处， ，得 ； 处， ，得 。将 代入式（e） 得：,(f),将式（f）代入边界条件： 处， ，得：,同理得 ， 的表达式。最后得腔内电场分量：,(4),其中： 是沿矩形三个边的半波数目。,将式(4)代入辅助条件 ： ，得：,(5),当满足(4）、(5)两式时，式(4) 代表腔内一种谐振波型（波模），称为腔内电磁波的一种本征振 荡。由(5)式知： 中有两个是独立的 ， 对给定的每一组（m,n,p）有两个独立的偏振波型（波模），分别称为TE和TM波型。,将

30、电场空间分布式(4)代入 求旋度，得磁场空间分布直角坐标 x、y、z分量。,得腔内电磁波的谐振频率（本征频率）为,将,(6),当 中有两个为零，则由式(4)得腔 内电磁场为零！所以 中不能有两 个为零，只能取一个为零！,代入下式,当 ，则谐振腔的最小(低)谐振 频率是：,谐振腔的最大谐振波长是：,该波长与谐振腔的线度为同一数量级。,传输线的演变：低频电磁波用双线传输；较高 频电磁波用同轴线传输；更高频电磁波用（微波 和光波）用波导传输。,5 波导,5.1 高频电磁能量的传输,均匀导波装置,引导电磁波传播的装置导波装置。以下给出部分常见的导波装置。在垂直于波传播方向上，导波装置有相同形状的横截面

31、。,平行板波导,双导线,同轴线,矩形波导,圆柱形波导,微带线,求解波导装置中电磁场的方法: 纵向场法、赫兹 矢量法、本书的方法。,在理想介质中，设正弦电磁波沿轴方向传播：,(1),满足无源区内的麦氏方程组为：,5.2 在导波装置中谐变电磁场纵向场分量 与横向场分量间的关系,将式(1)代入式(2)得电场、磁场的直角坐标分量 关系：,(3),(2),注意到 ，求解方程(3)得：,其中，,（4）,由式(4)可见，只要求出纵向Z分量z和z ,可求 得电场和磁场的其他场分量（横向分量） ！,能够在导波装置中存在的电磁场结构形式，称为 导行波的波型！也称传输模式！ 1、横电磁波（TEM波） 由方程(4)知

32、：电场和磁场其他场量均为，电磁波的所有其他分量均为零。 结论：金属波导管不存在横电磁波(TEM波)。,5.3 电磁波波型的分类,（1）,由方程(4)可知，其它电场和磁场分量均由Hz求出!,3、横磁波（TM波） 由方程(4)可知：其它电场和磁场分量均由Ez求出!,（3）,（2）,2、横电波（TE波）,结论：金属波导管存在横电波(TE波)和横磁波 (TM波)。,几种常用导波系统的主要特性,矩形波导装置的横截面是矩形，四周壁由理想导体做成。,1、边界条件,在,面上,边界条件为：,5.4 矩形波导中电磁波,(1),2、矩形波导中正弦电磁波满足方程 正弦电磁波沿轴方向传播：,(a),将式(a)代入下式

33、得电场的直角坐标x、y、z分量满足方程：,（b）,代表电场 的任一直角坐标 x、y、z,用分离变量法求式(b)的解。设,将式(c)代入式(b)得：,(c),(d),分量。,式(d)中：,由于 方向受限制，式（d）的解是驻波解：,(e),将式(e)代入式(a)得电场 x、y、z分量：,(f),如同4.4谐振腔解法，将式(f)代入边界条件式 (1)确定待定量：,最后得电场 x、y、z分量：,(2),式(2)中：,(3),将式(2)代入辅助条件(电场高斯定理) 得：,(4),将电场空间分布式(2)代入 求旋度，得磁场空间分布的x、y、z分量。,当满足(2）、(4)两式时，式(2)代表矩形波导内一种传

34、播波型（波模）。由(4)式知： 中有两个是独立的， 对给定的每一组（m,n）有两个独立的偏振传播波型（波模），分别称为TE和TM波型。,当 时，电场 z 分量为零： 称为横电波（TE波）。,当 时，磁场 z 分量为零： 称为横磁波（TM波）。,TE波和TM波又按 取不同值，进一步分为 TEmn波型和TMmn波型。,TMmn波型电场和磁场的x、y、z分量复数表达式为：,(5),(6),TEmn波型电场和磁场的x、y、z分量复数表达式为：,1、式(5)表示：给定（m,n）对应一种TMmn波型， m和n不能取0！否则由式(5)得波导内电磁场为零！ 2、式(6)表示：给定（m,n）对应一种TEmn波模

35、， m和n可取0，但不能同时取!否则由式 (6)得波导内电磁场为零！,5.5 矩形波导的截止频率,将 代入下式,得：,(1),式(1)称为TEmn波型和TMmn波型的截止频率。,(a),因为当波导内电磁波频率 小于波导TEmn波型和TMmn波型的截止频率 时，即 。 是虚数：,（ 为实数）,TEmn波型和TMmn波型的传播因子：,式(b)表示：电磁波在波导中是指数衰减的，不能沿Z轴方向传播！,当波导内电磁波频率 大于波导TEmn波型和TMmn波型的截止频率 时，即 。 是实数。TEmn波型和TMmn波型的传播因子：,式(c)表示：电磁波在波导中能沿Z轴方向传播！,(b),(c),若 或 ，能沿Z轴方向传播 若 或 ，不能沿Z轴方向传播,(2),传输条件：,截止角频率：,截止条件：,截止频率：,截止波长：,总结：,若 或 ，能沿Z轴方向传播 若 或 ，不能沿Z轴方向传播,波导中正弦平面电磁波的特点： 1）不存在T