2012高考数学一轮复习数列等差数列

1、4、等差数列(C级),*,一、概念与公式,1.定义:,若数列 an 满足: an+1-an=d(常数), 则称 an 为等差数列.,2.通项公式:,3.前n项和公式:,二、等差数列的性质,1.首尾项性质: 在有穷等差数列中, 与首末两项距离相等的两项和相等, 即:,特别地, 若项数为奇数, 此和还等于中间项的两倍, 即:,a1+an=a2+an-1=a3+an-2= =2a中,a1+an=a2+an-1=a3+an-2= ,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.,特别地：若 p+q=2r, 则 ap+aq=2ar,2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN+), 则 ap+aq=ar+a

2、s .,3.等差中项,若在两个数 a、b 中间插入一个数 A, 使 a、A、b 成等差数列, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，,4.顺次 n 项和性质,二、等差数列的性质,即Sn, S2n-Sn, S3n-S2n , 成等差数列！,5.已知 an 是公差为 d 的等差数列,6.若 an, bn 均为等差数列, 则 man, mankbn 也为等差数列, 其中 m, k 均为常数.,二、等差数列的性质,三、判断、证明等差数列方法,1)定义法;,2)通项公式法;,3)等差中项法;,四、Sn的最值问题,4)前n项和法.,1.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且

3、 S10=S15 (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的最大值.,(2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130 ;,典型例题,典型例题,(1)an=(2n-1)p+q (nN+);,(2)an+1-an=2p0, an+1ana1=p+q1;,连线的斜率为定值(p)即可.,典型例题,1.已知 an 是等差数列. (1)若前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项总和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间

4、项和项数.,解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:,4(a1+an)=21+67=88.,a1+an=22.,由 n(a1+an)=2Sn=2286 得:,a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.,n=26.,故所求数列的项数为 26.,课后练习题,(3)依题意,解得: a中=11, n=7.,课后练习题,解(2)Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn),S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.,1.已知 a

5、n 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数.,中间项 a中=11, 项数n=7.,课后练习题,解: 设等差数列 an 的公差为 d,S7=7, S15=75,解得: a1=-2, d=1.,课后练习题,1.已知四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三 个数成等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数.,解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d0.,又后三数

6、成等比数列, 其最后一个数是 25,解得: a=16, d=4.,故所求四数分别为 12, 16, 20, 25.,a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.,a-d=12, a+d=20.,课后练习题,(1)证: 由已知 an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2,an+1=4an-4an-1(n2).,bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.,bn是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列.,又由 a1=1, a1+a2=S2=4a1+2 得 a2=5,b1=a2-2a1=3.,bn=32n-1 .,课后练习题,数列 cn 是等差数列.,课后练习题,Sn=4an-1+2=4(3n-4)2n-3+2=(3n-4)2n-1+2.,an=2ncn=(3n-1)2n-2.,an-1=(3n-4)2n-3 (n2).,而 S1=a1=1 亦适合上式,Sn=(3n-4)2n-1+2 (nN*).,课后练习题,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).,整理得 nSn+1=2(n+1)Sn.,课后练习题,Sn=n2n-1 ，,即Sn+1=(n+1)2n,an=Sn-Sn-1=n2n-1-(