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1、牛顿迭代法 非线性方程,2016/2017 学年 第一学期（16周）, 牛顿给出一种求解方法：在根附近任取一个点， 曲线与在该点处的切线，该切线与轴线交点取作 第二点，依次循环, 设方程 有根 ，且 ，如图所示,牛顿迭代法几何含义,牛顿迭代法几何含义,牛顿迭代法, 定义：从几何上看， 越来越接近 。由此， 不难归纳出一般迭代公式 以上方法称作牛顿迭代法（也称切线法）, 定理： 设 是方程 的一个单根，且 ， 则，牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根 。, 证明：事实上，迭代函数 ，且 当 时，由迭代定理可知，牛顿迭代 法以 2 阶速度收敛于 。,牛顿迭代法, 例：证明以上公式，对于初值 整体收

2、 收敛于 ，且收敛速度是 2 阶的。,牛顿迭代法, 定义：对于给定正数 a，应用牛顿迭代法解二次 方程 ，可求 的计算公式,牛顿迭代法, 证明：从牛顿迭代法可得,牛顿迭代法, 证明：反复递推可得,牛顿迭代法, 证明：,例题, 例：给出计算 的牛顿迭代公式，并计算 。,例题, 解：设方程 ，则 ， 代入牛顿迭代公式可得 当 a=3 时，迭代公式为 取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。,例题, 例：设 a0 ，推导用牛顿迭代法计算 1/a 的 公式，要求在迭代公式中不用除法进行运算，并 计算 1/6。,例题, 解：设方程 ，则 ， 代入牛顿迭代公式可得 当 a=6 时，牛顿迭代公式为 取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。,例题, 例：用牛顿迭代法计算 1/1.2345。,例题, 解：将 转化为 ， 代入牛顿迭代公式可得 取 ，代入牛顿迭代公式，计算结果如表 所示。,例题, 例：设用牛顿迭代法求方程 ，在节 点 附近的根，要求精度 。,例题, 解

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