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文档简介

1、数学物理方法,贝塞尔函数 ( Bessel Function ),第五章,积分与变量的形式无关,在第二章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题。从2.3 可以看出, 当采用极坐标系以后，经过分离变量，就会出现变系数的线性常微分方程。 在当时，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。 如果不是考虑稳恒状态，而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的 常微分方程。 本章将通过在柱坐标系中，对定解问题实施分离变量，引出在2 .6中我 们曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。 下面将要看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示出 来，从而就引入了一类特殊的函数，

2、称为贝塞尔函数。 贝塞尔函数具有一系列的性质，在求解数学物理问题时，主要应用了它的 正交完备性。,5.1 贝塞尔函数的引出,下面将以圆盘的瞬时温度分布为例，导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的薄圆盘，其上下两个圆面绝热，若圆盘周围边缘上的温 度恒保持为摄氏零度，且圆盘内的初始温度为已知，求圆盘内任意时刻（瞬 时）温度分布规律。,边缘上的温度恒为零。,上下两面绝热。,这个问题可以归结为求下述定解问题。,用分离变量法解这个问题，先令,代入方程（5.1)，得,或,边缘上的温度为零！,5.2 贝塞尔方程的求解,非常关键的一步,一般项的系数,牛曼（诺伊曼）函数的图象,贝塞尔函数的图象,5.3 当 n 为

3、整数时贝塞尔方程的通解,5.4 贝塞尔函数的递推公式,两个基本 递推公式,所得之结果与前面一样。,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,5.5.1 贝塞尔函数的零点,注意：这里的指标(n)， 仅表示第n 阶贝塞尔 函数，不要与n 阶导数 混淆。,5.5.2 贝塞尔函数的正交性,证明：,过程,贝塞尔函数零点的概念,5.5.2 贝塞尔函数的正交性 (方案之二),证明：,拄函数!,贝塞尔函数零点的概念,5.5.3 贝塞尔函数的模,贝塞尔函数零点的概念,5.5.4 傅立叶-贝塞尔级数,由此式确定的Ak 称为 傅立叶-贝塞尔系数。,例,解,柱函数,5.6 贝塞尔函数应用,例,解,套路,边界条件 需“翻译”,一、建立方程,一、建立方程,一、建立方程,二、求本征值、 本征函数。,

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