1-1线性代数.ppt

1、线 性 代 数,主讲人:刘 彬,线性代数序言,我们开设的线性代数这门课程属于近代数学范畴。“线性”一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里意指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的。线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，随着研究线性方程组和线性变换问题的深入，先后产生了行列式和矩阵,行列式和矩阵的概念,为处理线性问题提供了的理论工具，并推动了线性代数的发展。,由于线性问题广泛存在于自然科学和技术科学的各个领域，且某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理因此线性代数知识应用广泛，这也使得线性代数这门课程越来越受到重视，因此也成为考研的热门课程。,线性代数主要内容

2、：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。,线性代数这一门学科各章内容之间有较强的渐进关系；概念具有多样性；有些理论比较抽象；解决问题的方法富于变化；对本课程的这些特点，在以后的学习中应予以注意。,第一章 行列式, 1.1 n阶行列式的定义, 1.2 n阶行列式的性质, 1.4 克莱姆(Cramer)法则,行列式,行列式,行列式, 1.3 n阶行列式的计算,n阶行列式的定义、性质与计算,n阶行列式的定义、性质与计算,行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研究 n 元线性方程组需要进一步讨论 n 阶行列式。,讨论

3、二阶、三阶行列式,进一步介绍 n 阶行列式,解决一类 n 元线性方程组求解问题,本 章 逻 辑 顺 序,性质与计算为重点,第一节 n 阶行列式,一. 二阶、三阶行列式,研究二元线性方程组：,利用消元法,同理,从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引 入记号（叫做二阶行列式）：,则其解可简洁地表示为：,表示代数和,即,定义,排成二行二列，,称为二阶行列式.,用符号,把4个数,定理,（克莱姆法则）,如果线性方程组的系数,行列式 ，,则方程组有唯一解,解线性方程组,由于方程组的系数行列式,又,所以方程组的解为,解,例1,例,解,类似地，如果在求解三元方程组,的过程中引入下列三阶行列式的记号,其实，这

4、个三阶行列式的展开式的值也可以用下面的所谓主、副对角线法则得到：,并规定其值为：,时，用消元法同样可得这个方程组的解,其中 Dj（j = 1, 2, 3）是用常数项 b1, b2, b3 替换系数行列式 D 中的第 j 列所得的三阶行列式。,而且当三元线性方程组的系数行列式,例2,解,D =,=,计算行列式,例,解,按对角线法则，有,但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向一般 n 阶行列式推广。,其中一项 的符号是什么呢？,这时用主、副对角线法则就不好确定了！,例如，对 4 阶行列式：,定义,余下的元素,的余子式，,的代数余子式。,所在的第 行,和第 列，,构成的n-1阶行列式,称为元素,记

5、为,划去 中元,称为元素,事实上，三阶行列式还可以按照依第一行展开 的方法得到行列式的值。 即,例如，对例 2 中的行列式，有,A11 =,A12 = 10,A13 = 7,从而行列式的值,=1( 1)+ 0 10 + 1(7)= 8,与对角线法结果相同。,1,可以用低阶行列式的值去定义高阶行列式的值；,这一展开的规律启示我们：,定义四阶,以及以上的行列式.,即用归纳的方法,利用三阶行列式,定义四阶行列式;,利用四阶行列式,定义五阶行列式;,假设 阶已定义，,然后定义 阶行列式.,二. n 阶行列式,的具有 n 行 n 列的式子,并且规定其值为：,1）当 n = 1时， D =,定义1.,叫做

6、 n 阶行列式（Determinant），,=,其中,为,代数余子式。,可知：n 阶行列式的定义展式中，一定包含有,从二、三阶行列式,n！个项，,并且每一项都是来自于,不同行、不同列,的n个元素的乘积。（证明容易，留给大家去做）,例5,计算 4 阶数字行列式,解,=,=,如果再将上述行列式按第四行元素展开，又得到,这个结果与按定义展开是一样的。,实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按第一行以后的任一行或者任一列去展开，其结果都是相同的。,即有下面的定理：,n 阶行列式 D 等于它的任一行（列）的元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，,和,定理证明略去。,定理1.,即,=20A11,= -340,例 计算行列式,计算4阶行列式,例,解,将行列式按第1行展开，得,注：对 3 阶以上的行列式而言，主、副对角线法则是不成立的,例3,上三角行列式的值,等于主对角线,上元素的乘积。,计算 n 阶下三角行列式,按第一行展开,以此类推，得,解,例,特别地，对主对角行列式，有,对上三角行列式与主对角行列式值的结论，我们 以后常会用到。,例4,计算 n 阶（拟下三角）行列式,解,由 n 阶行列式的定义，可以得到,是 n-1 阶行列式，而且它,其中 的余子式,与 n 阶行列式,同样的形式，,行列式的定义，有,=,等于,值得注意的是：,反复利用（n 阶）,！,！,！,可以换