奥数容斥问题

1、,学校准备给参加语文、数学竞赛的每位同学发一份纪念品，小明统计了参加两项竞赛同学的人数情况，参加语文竞赛的有23人，参加数学竞赛的有30人，于是他准备了23+30=53份纪念品。经核查，参加比赛的同学已经每人都发1份了。而统计比赛的人数也没错，结果还多出来8份，你能帮小明找出为什么会多出来8份纪念品的原因？,为什么会多出来,第五讲 重叠问题,当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这就是重叠的最简单情形。重叠问题也叫容斥问题，也叫包含与排除问题。,五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？,例一：,6448112

2、人 1129616人 答：两种刊物都订的有16人。,四年级（1）班的同学们参加体育活动，已知有28人参加打乒乓球，26人参加打羽毛球，两种球都参加的有12人，全班有多少人？,拓展,28261242人 答：全班有42人。,1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文和数学作业都做完的有多少人？,练习一：,32355215人 答：这个班语文和数学作业都做完的有15人。,3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，其中，语文的优的有65人，数学的优的优87人。问语文、数学都得优的有多少人？,658711240人 答：语文、数学都得

3、优的有40人。,某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都获满分的有多少人? 262147人 471764人 645014人 答：两次测验都获满分的有14人。,2、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少名外语老师？ 35342148人 答：这个地区有48名外语老师。,4、某校的每个学生至少喜爱体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都喜欢。这个学校有多少人？,900850

4、1750人 答：这个学校有1690人。,第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人两题都做对的有7人，两道都做错的有3人，第一小组一共有多少人? 151025人 25718人 18321人 答：第一小组一共有21人。,在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有两种语言都懂的教师，问只懂英语的教师有多少人？,例二：,754510020人 752055人 答：只懂英语的教师有55人。,1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一道，已知做对第一道题的有30人，做对第二道题的有21人，问只做对第一道题的有多

5、少人？,练习二：,30214011人 301119人 答：只做对第一道题的有19人。,2、五年级122名同学参加语文、数学测试，每人至少有一门得优，已知有65人语文得优，有78人数学得优，求只有语文一门得优的人数？ 657812221人 652144人 答：只有语文一门得优的人数是44人。,3、在100名旅客中。每人至少懂中文和英语两种语言之一，其中懂中文的有58人，懂英语的有50人。只懂中文和只懂英语的各有多少人？ 5850108人 1081008人 58850人 50842人 答：只懂中文有50人，只懂英语的各有42人.,4、五年级三班学生除3人没有订报纸外，其余每人都订有报纸。订语文报的

6、有25人，订数学报的有30人，两种都订的有10人，全班有多少人？ 253055人 551045人 45348人 答：全班有48人。,例三,学校开展课外活动，共有250人参加。不同时活动其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名学生中，象棋组乒乓球组都不参加的有多少人？ 838625144人 250144106人 答：象棋组乒乓球组都不参加的有106人。,4、五（一）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的有35人，语文和数学都在90分以上的有20人，语文和数学都在90分以下的有多少人？,30352045人 5045

7、5人 答：语文和数学都在90分以下的有5人。,2、在100名旅客中。有70人懂英语，65人懂日语，即懂英语和日语两种语的有45人，那么既不懂英语又不懂日语的各有多少人？ 70654590人 1009010人 答：那么既不懂英语又不懂日语的各有10人.,实验小学各年级都参加的一次书法比赛中四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级，有12人不是五年级。该学校书法获奖的总人数是多少人？ 1612208人 824人 42024人 答：该学校书法获奖的总人数是24人.,例四：,练习四：,1、五（一）班小学举行小学田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五

8、、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各是多少人？ 中低年级：242832210人 五年级：241014人 六年级：281018人 答：,2、少年乐队学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五年级、六年级的共有205人，少年乐队中五、六年级以外的学生有多少人？,170135205250人,课堂闯关：,1、一个少儿俱乐部有99人，其中会下中国象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋，两种象棋多会下的有多少人？,2、同学们去野外采集昆虫和花草标本。采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有28人，两种标本都采集的有16人。去采集标本的学生有多少人？,3、某校一次运动会中，某班参加60米跑的有15人，参加跳远的有17人，既参加60米跑又参加跳远的有9人，没有参加比赛的有23人。这个班有多少人？,4、五（一）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的有35人，语文和数学都在90分以上的有20人，语文和数学都在90分以下