数值分析-第一章课件

1、参考书： 1 , , . 计算机数值方法. 第一版. 北京：高等教育出版社， 1999. 2 , , , . 数值分析原理. 第一版. 北京：科学出版社，2003. 3 . 科学计算概论. 第一版. 北京：科学出版社, 2007. 4 Rainer Kress. Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 2003.,数值分析绪论,1,PPT学习交流,实际问题,建立数学模型,求解计算,应用于实践,抽象,简化,否,结束,解释 实际问题,类型,方法,是,结果分析,2,PPT学习交流,数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近似解法数值方法, 是从数

2、学模型(由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个计算过程. 这是一门与计算机紧密结合, 实用性很强的数学课程.,3,PPT学习交流,1. 可行性: 它只能包括计算机能够直接处理的加、减、乘、除和逻辑运算, 以及计算机的内部函数, 并能够在有限步结束. 2. 可靠性: 它应该有数学理论分析的支持,包括误差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等, 使得近似解与精确解的误差可以任意地小. 3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元少、计算过程简单、规律性强等优点.,算法应具有

3、的特点:,4,PPT学习交流,数值分析课程主要介绍几类数学问题的经典算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本概念和理论误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力.,数值计算方法涉及的基础数学课程较多, 但在本课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数学知识.,5,PPT学习交流,引例 例1: y = arctan5430 arctan5429的准确值为: 0.339219 0.339107,第一章 引论,例2: 计算下面积分的值

4、( n = 0, 1, 2, ):,积分In的值必定落在区间0, 1内, 我们由被积函数及其图形作出判断.,但是, 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得 y 1.5706122 1.5706121 = 0. = 1107,所得计算结果的可靠性值得怀疑. 这一结果的产生是由于四舍五入造成的.,6,PPT学习交流,由分部积分法可得:,如果取 I0 = 1e1 = 0.63212056 (八位有效数字).,n=1,2,4,6, 8,10,15,利用递推公式进行计算得:,7,PPT学习交流,例3: 对于一元二次方程 x2 (109+1)x+109= 0 有两个精确的实根: x1= 109, x2= 1

5、.,如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式:,其中的x2=0明显失真, 这也是由于舍入误差造成的.,直接进行计算则得: x1=109, x2=0.,8,PPT学习交流,实际 问题,建立数 学模型,确定计 算方法,编程 上机,由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差,由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差,计算过 程中产 生的舍 入误差,1 误差的来源,9,PPT学习交流,例如用级数,的前三项计算 sinx 的近似值,则截断误差为：,由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差.,即取,10,PPT学习交流,2 误差的概念,一、绝对误差与绝对误

6、差限 设x*为准确值(也称为真值) x 的一个近似值, 则称 xx*为近似值 x*的绝对误差, 简称为误差, 并记作 e(x*) = xx*。 满足不等式 |e(x*)| = | xx*| *的正数*称为近似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*。 例如, 电压V=1002(V), V*=100(V)是V的一个近似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即 | VV*| 2(V),11,PPT学习交流,对于两个数值 x1=1002, x2=101 近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值10

7、0的偏差不超过2, 而近似值10的偏差不超过1. 哪个近似值的精度好呢？,二、相对误差与相对误差限,设x的近似值为x*, 则称x*的绝对误差e(x*)与精确值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关, 还与精确值的大小有关. 为此我们需要引入相对误差的概念.,12,PPT学习交流,同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,即,13,PPT学习交流,作为近似值 x*的相对误差.,的正数r*称为近似值 x*的相对误差限.,满足不等式,通常将,例如: x1=1002的近似值 x1*=100的

8、相对误差为,而 x2=101的近似值 x2*=10的相对误差为,因此, 从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好.,14,PPT学习交流,若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限, 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止, 共有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字. 例如, =3.141592, x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|= 0.00159 0.011/2, 即“4”所在的百分位的半个单位0.011/2 是x*的绝对误差限, 故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位, 所以x* = 3.14具有3位有效数字. 有效数字位数越多,

9、 近似值的绝对误差和相对误差就相对越小, 反之亦然.,三、有效数字及其位数,15,PPT学习交流,3 误差的传播规律,设x1*, x2*分别为x1, x2的近似值, 函数值 y=f(x1, x2)的近似值用y*=f (x1*, x2*)表示. 利用函数f (x1, x2)在点(x1*, x2*)处的二元泰勒展开公式, 对y*的绝对误差和相对误差进行分析.,近似值y*的绝对误差的近似表达式为:,当 x1*和 x2*的绝对误差都较小时, y y*= f (x1, x2) f (x1*, x2*),16,PPT学习交流,在y*的绝对误差近似表达式的两端除以y*,即可得到y*的相对误差的近似表达式:,

10、这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误差的传播规律. 一般地讲, 我们比较注意二元运算中的相关问题, 以下对加、减、乘、除四则运算进行讨论.,17,PPT学习交流,加, 减法相关的误差公式:,设 f (x1, x2)= x1x2 .,18,PPT学习交流,乘法相关的误差公式：,设 f (x1, x2)= x1 x2 .,19,PPT学习交流,设 f (x1, x2)=,除法相关的误差公式:,20,PPT学习交流,例4: 测得圆环的外径D1=100.05(cm), 内径D2=50.1(cm),的近似值为:,其中, D1*=10 (cm), D2*=5 (cm), 且已知 | e(D1*)

11、|0.05(cm), | e(D2*)|0.1(cm).,则其面积,21,PPT学习交流,由近似公式可得S*的绝对误差限和相对误差限分别为：,圆环面积的近似值S*=68.905(cm2)的绝对误差限为1.5708(cm2), 相对误差限为2.7% .,22,PPT学习交流,4 数值运算中应注意的几个原则,再来看例2的积分问题:,由递推公式 In= 1 n In1 (n = 1, 2, ) 可得 In- In*=(-1)n n!(I0- I0*) (n=1, 2, ) 由 n! 惊人的发散速度, 只要|I0 I0*|0, 无论多小, 则In In*就会无限地增大. 如前面计算的结果. 我们说这个

12、算法不是好算法.,一、选用数值稳定性好的算法,如果我们将递推公式转换为:,23,PPT学习交流,进行如下实验: 取 N=20, IN =10, 则计算结果为:,当x1*和x2*两数相近时, y*= x1* x2*就会很小(即y*0), 由两数差的相对误差估计式:,二、相近两数避免相减,可以看出|er*(y*)|可能会很大, 导致y*有效数字减少.,24,PPT学习交流,引例1 计算失真的原因就在于此. 若将计算公式进行变换, 就可能避免这种情况的发生.,我们来看下面的计算过程:,由于,则,3.392191110-8,这个计算结果是令人满意的.,避免相近两数相减的方法随算式和条件的不同而各异.,

13、例如: 当 x 0 时,25,PPT学习交流,当| x |很小时,当然在无法改变算式的情况时, 可以考虑增加计算过程中的有效数字的位数.,等等.,由于计算机的字长是有限的, 对绝对值相差悬殊的两个数进行运算时, 可能出现大数“吃掉”小数现象,从而影响结果的可靠性.,三、警惕大数“吃”小数造成的危害,在例3的方程 x2 (109+1) x + 109 = 0 中 b = 109+1=1000000001=0.10000000011010 或 b = 0.10000000001010+0.0000000011010,26,PPT学习交流,=:109,若使用尾数八位的浮点计算机时, 两结果的最后两位

14、“01”必然消失, 其计算的结果均为: b =:109,同样,即大数109“吃掉”了小数 1.,根x2=0不能令人满意.,求出一个绝对值较大的根 x1, 然后利用公式x1x2=c/a求出另外一个根 x2, 就可以保证所得到的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根的精度都是可靠的.,于是,如果先利用公式:,27,PPT学习交流,可以看出, 当 x2趋于0时, 比值的绝对误差有可能趋于. 这就是绝对值相对较小的数不宜作除数的原因. 在后面我们将看到相关的例子.,四、绝对值相对较小的数不宜作除数,由两数之比的绝对误差限和相对误差限的估计式,28,PPT学习交流,应用这一原则, 既可以提高解题效率、节省计算时间, 又可以减少计算误差的积累. 这不仅是数值计算中必须注意的原则, 也是数值计算方法需要研究的重要内容之一. 在数理统计中有一个重要且常用公式:,五、简化计算步骤, 减少运算次数,2