数列的概念与简单表示法（一）

1、2.1.1 数列的概念 与简单表示法,(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为,(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为,1、考察下面的问题,1740，1823，1960，1989，2072，,问题创设,( 1 )三角形数,( 2 )正方形数,2、观察以下2个例子：,1,3,6,10,1,4,9,16,问题创设,一、数列的概念：,按一定次序排列的一列数叫做数列,思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？,

2、例如：三角形数 1，3，6，10， 正方形数 1，4，9，16，,1，2，3 2，1，3 3，1，2 1，3，2 2，3，1 3，2，1,注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有 特殊的规律.,一、数列的概念：,按一定次序排列的一列数叫做数列,注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次 叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项.,我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，. (nN*) 简记作an 。,例如：若用an来表示“2，1，3”这个数列，则a2=_；,1,思考2：能不能把数列“2，1，3”记为2，1，3？,不行，2，1，3是一个集合，集合中的元素是 没有顺

3、序的,一、数列的概念：,按一定次序排列的一列数叫做数列,注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次 叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项.,我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，. (nN*) 简记作an 。,思考3：an 与an的意思一样吗？ an表示一个数列：a1，a2，a3，an，. an表示数列an中的第n项,各项都相等的数列 从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列,二、数列的分类： 1、以项数来分类： （1）有穷数列： （2）无穷数列： 2、以各项的大小关系来分类： （1）递增数列： （2）递减数列： （3）常 数 列： （4）摆

4、动数列：,项数有限的数列 项数无限的数列,对任意nN*，总有an+1an (或an+1-an0),对任意nN*，总有an+1an (或an+1-an0),从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列,从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列,思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想 这些数列的第n项an是什么？ （1）1 ， ，9，16，25， ，49， ； （2）2，4， ，16，32， ，128， ； （3）1，-1，1 ， ，1，-1 ， ，-1， ；,4,36,8,64,-1,1,三、数列的通项公式：,如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就

5、叫做这个数列的 通项公式，简称通项。,例如：an=n2 就是数列1，4，9，16，的一个通项公式,注意：通项公式的主要作用是“知序号可求项” 如：数列n2的第11项是_ 一些数列的通项公式不是唯一的； 如：数列1，-1，1，-1， 不是每一个数列都能写出它的通项公式。 如：1，24，8，3，19,121,例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数：,变题：4，6，8，10,变题：-3，-1，1，3,（1）2，4，6，8； （2）1，3，5，7；,an=2n,an=2n+2,an=2n-1,an=2n-5,变题：5，55，555，5555,（4）9，99，999，9999；

6、,（1）-2，2，-2，2； （2） （3）2，0，2，0；,拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数：,练习：课本P31第1，4题,小结,观察法求通项公式：,（1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平方数列，三角形数列，,（2) 分数列：观察分子、分母的特点。,（3) 指数数列：观察底数、指数的特点。,（4) 各项符号一正一负：,例1、已知数列an的通项公式是an=-n2+4n-1， （1）写出这个数列的前4项； （2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？,注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数,（2）an=-n2+4n-1= -(n-2)2+

7、3 当n=2时，an取到最大值3,思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f (x)= -x2+4x-1 有什么不同？,(3) -13是这个数列中的项吗？,递增数列： 递减数列：,对任意nN*，总有an+1an (或an+1-an0),对任意nN*，总有an+1an (或an+1-an0),例2、已知数列an的通项公式为an=n2+n，其中nN*， 求证an是个递增数列。,证明：对任意nN*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n) =2n+20 an是个递增数列,五、数列与函数的关系：,从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N* （或它的有限子集1，2，n）为定义域的函

8、数 an=f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时， 所对应的一列函数值.,数列的其他表示方法：,如：数列2，4，6，2n，,列表法，图象法,例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象.,（1）,（2）,（3）,（4）,思考：如果一个数列an的首项a1=1，从第2项起每一项 都等于它的前一项的2倍再加1，即 an=2an-1+1(n2) 则该数列的第5项是什么？,已知数列an的第1项（或前几项），且任意一项 an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式,练习：试写出数列1，3，6，10，的一个递推公式。,解：a1=1,练习：写出下列数列an的前5项 （1）a1=5，an=an-1+3 (n2)； （2）a1=2，an=2an-1 (n2)；,思考：你能否利用上面两题的条件求出数列an的 通项公式？,（1）5，8，11，14，17 （2）2，4，8，16，32,二.数列的分类： 1.以项数来分类： （1）有穷数列： （2）无穷数列： 2.以各项的大小关系来分类： （1）递增数列： （2）递减数列： （3）常 数 列： （4）摆动数列：,项