材料力学第七章答案 景荣春

1、第第 7 章章 应力状态分析与强度理论应力状态分析与强度理论 思考题思考题 7-1 何谓一点处的应力状态？何谓平面应力状态？ 答答 一点的应力状态指构件一点处任意方位的应力变化情况。 平面应力状态（二向应力状态）是 3 个主应力中，仅有 1 个主应力为零。 7-2 何谓主平面？何谓主应力？如何确定主应力的大小与方位？ 答答 若在单元体某一面上的切应力等于零，则称该面为主平面主平面。 主平面上的应力称为主应力主应力。 由式 0 2 tan 2 xy xy = 可以求出相差90的 2 个角度 o 0 ，它们确定 2 个相互垂直的 平面，其中 1 个是极大正应力所在的主平面，另 1 个是极小正应力所

2、在的主平面； 用式 2 max2 min 22 xyxy xy + =+ 可确定极大和极小的 2 个主应力。 7-3 何谓单向应力状态？何谓三向应力状态？何谓纯剪切应力状态？ 答答 单向应力状态是在 1 个单元体的 3 个主应力中，仅有 1 个主应力不为零。 三向应力状态指在 1 个单元体的 3 个主应力均不为零。 纯剪切应力状态是 1 种特殊的平面应力状态， 其单元体的 2 个面上无应力， 其余 4 个面 上只有切应力。 7-4 平面应力状态的极值切应力就是单元体的最大切应力吗？ 答答 不一定。若该平面应力状态算出的 2 个极值主应力 1 正 1 负，则该平面应力状态的 极值切应力就是单元体

3、的最大切应力。 7-5 脆性材料适用哪几个强度理论？塑性材料适用哪几个强度理论？莫尔强度理论适 用于什么条件？ 答答 一般情况下，第 1，2 强度理论适用脆性材料。 第 3，4 强度理论适用塑性材料。 莫尔强度理论适用于抗拉和抗压强度不同的脆性材料。 7-6 何谓广义胡克定律？该定律是如何建立的？其适用范围是什么？ 答答 () () () 1 , 1 , 1 , xy xxyzxy yz yyzxyz zx zzxyzx EG EG EG =+= =+= =+= 上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。广义胡克定律。 正应力只产生正应变， 并考虑横向变形效应 （泊松效应） ， 用叠加原理求得在

4、x ， y 和 z 的共同作用下的正应变；切应力只产生切应变。 它适用于线弹性、 小变形条件 （以保证叠加原理可用， 保证正应力和切应力无偶合作用） 。 7-7 若某一平面应力状态的单元体， 其任一斜截面上的总应力为常量， 则该单元体一p 101 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 定处于纯剪切状态吗？ 答答 是。const 22 =+=p 7-8 若某一方向的主应力为零，其主应变一定为零吗？ 答答 不一定。 因为()() kjii E += 1 0， 当= i 时， 若0+ kj ， 则0 i 。 7-9 若受力构件内某点沿某一方向有线应变，则该点沿此方向一定有正应力

5、吗？ 答答 不一定。 因为()() kjii E += 1 0， 当= i 时， 若0+ kj ， 则0 i ， 即有正应变的方向，但其正应力可为 0。 7-10 过受力构件上任一点，其主平面有几个？ 答答 过受力构件上任一点，其主平面至少有 3 个。 7-11 石料、极硬的工具钢在轴向压缩时，会沿压力作用方向的纵截面裂开，为什么？ 答答 石料、极硬的工具钢可视为脆性材料，可用第 2 强度理论（最大拉应变理论）解释 其在轴向压缩时，会沿压力作用方向的纵截面裂开。 7-12 水管在冬天常发生冻裂，为什么冰不破碎而钢管却破裂？ 答答 冰的密度比水小，结的冰成三向受压，呈现良好的塑性，不破碎；钢管因

6、冰体积膨 胀受拉，加上温度低，呈现冷脆性，被拉断。 7-13 用塑性很好的低碳纲制成的螺栓，当拧过紧时，往往沿螺纹根部崩断，试分析其 破坏原因。 答答 螺纹根部处于三向受拉应力状态，切有叫大的应力集中。脆断。 102 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 习习 题题 7-1 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，用解析法计算图中指定截面的正应力 与切应力。 a 解解 ()MPa4090sin2090cos 2 1030 2 1030 45 = + + = ()MPa1090cos2090sin 2 1030 45 =+ = b 解解 MPa3 .3845sin20

7、45cos 2 1030 2 1030 5 .22 = + + = 045cos2045sin 2 1030 5 .22 =+ = c 解解 () ()()MPa490. 0120sin15120cos 2 2010 2 2010 60 = + = () ()()MPa5 .20120cos15120sin 2 2010 60 =+ = 103 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m d 解解 MPa3560cos 2 5030 2 5030 30 = + + = MPa66. 860sin 2 5030 30 = = 7-2 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，

8、用解析法计算： (1) 主应力大小，主平面位置； (2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； (3) 最大切应力。 a 解解（1） MPa 0 . 7 0 .57 20 2 050 2 050 2 2 3 , 1 =+ + =，0 2 = （2） 80. 0 050 202 2tan 0 = =，= 3 . 19 01 （3）MPa0 .3220 2 50 2 2 max =+ = b 解解 （1）()MPa 0 . 7 57 20 2 50 2 50 2 3 , 1 =+=，0 2 = （2） () 80. 0 50 202 2tan 0 = =，=3 .19 01 （3）MPa32 2

9、 31 max = = c 解解 （1）MPa25 3 , 1 =，0 2 = （2） 0 252 2tan 0 =，=45 01 （3）MPa25 max = 104 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m d 解解（1） () ()MPa 2 .71 2 .11 40 2 2040 2 2040 2 2 3 , 1 =+ + + =，0 2 = （2） () () 4 2040 402 2tan 0 = =，= 0 . 38 01 （3）MPa2 .41 2 31 max = = e 解解 （1） MPa 7 .84 7 . 4 20 2 80 2 80 2 2 3 ,

10、 1 =+ =，0 2 = （2） ()2 1 800 202 2tan 0 = =，= 3 . 13 01 （3）MPa7 .44 2 31 max = = f 解解 （1） MPa 27 37 20 2 3020 2 3020 2 2 3 , 1 =+ + = （2） 80. 0 3020 202 2tan 0 = =，=3 .19 01 （3）MPa0 .32 2 31 max = = 7-3 用图解法解题 7-1。 105 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (a) (b) (c) (d) 7-4 用图解法解题 7-2。 (a) (b) (c) (d) (e)

11、(f) 7-5 图示应力状态，应力 xy =，证明其任意斜截面上的正应力均为，而切应 力则为零。 106 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 证证 =+ + = + + =00 2 2sin2cos 22 xy yxyx 002sin 2 2cos2sin 2 =+ =+ = xy yx 7-6 已知某点A处截面AB与的应力如图所示（应力单位为 MPa） ，试用应力圆法 求该点的主应力大小和主应力的方位及面 AB 与面 AC 间夹角大小。本题若用解析法求解， 方便吗？ AC (a) (b) 解解（1）作轴坐标系 （2）作点 A（60，22）MPa，B（25，26）MPa

12、 （3）作 AB 垂直平分线 与轴交于 C（40，0） （4）以 C 为圆心，CA 为半径作应力圆与轴的交点为主应力值，量得 MPa70 1 =，MPa10 2 =，0 3 =，=72ACB 故面 AB 与面 AC 间夹角为 = =144 2 72 180 讨论讨论：(1) 本题若已知面 AC 与 AB 夹角值，也可用解析法求解，否则解三角方程组非 常繁。 (2) 若已知一点的两个面上的正应力相等，切应力等值、反号，则必须给定这两个面的 夹角， 否则该点的应力状态不确定， 无法计算 （也无法画出确定的应力圆） 。 请思考为什么？ 7-7 图(a)所示，在处于二向应力状态物体的边界上，点bcA处

13、的最大切应力为 。求点35 MPaA的主应力。若在点A周围以垂直于轴x和轴的平面分割出单元体，求 单元体各面上的应力分量。 y (a) (b) 107 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解 4 3 tan=，=87.36，=13.5390 0= ，0= ，MPa35 max = 即 02sin2cos 22 = + + = xy yxyx 02cos2sin 2 =+ = xy yx 35 2 2 2 max =+ = xy yx 即 ()096 . 0 28 . 0 22 = + + xy yxyx （a） ()028 . 0 96 . 0 2 =+ xy yx

14、（b） 2251 2 2 2 =+ xy yx （c） 解式（a） ， （b） ， （c）得 MPa 8 . 44= x ，MPa2 .25= y ，MPa6 .33= xy MPa 0 70 2 max3 , 1 = + = yx ， 0 2 = 或 MPa 8 . 44= x ，MPa2 .25= y ，MPa6 .33= xy 0 21 =，70 3 =MPa 7-8 图示棱柱形单元体上40 MPa y =，其面AB上无应力作用，求 x 及 xy 。 解解 面 AB 外法线与轴x夹角= 60，由已知 0120sin120cos 2 40 2 40 60 = + + = xy xx （a）

15、 0120cos120sin 2 40 60 =+ = xy x （b） 式（a）式（b），得 +120cos120sin 0 2 40 120cos 2 40 = + + xx MPa120= x 代入式（b）得 MPa3 .69= xy 7-9 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa） ，求主应力的大小和最大切应力。 108 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m a 解解 MPa 7 . 4 7 .84 40 2 2060 2 2060 2 2 3 , 1 =+ + = MPa20 2 = MPa7 .44 2 31 max = = b 解解 MPa50 3 , 1

16、 =，MPa30 2 = MPa50 2 31 max = = 7-10 图示单元体处于平面应力状态，已知应力100 MPa x =，80 MPa y =， 50 MPa xy =，弹性模量，泊松比200 GPaE =0.3=，求正应变, xy 与切应变 xy ， 以及方位的正应变。 30= o 解解 () () 4 9 6 108 . 3 10200 10803 . 01001 = = yxx E () () 4 9 6 105 . 2 10200 101003 . 0801 = = xyy E ()() 4 9 6 105 . 6 10200 10503 . 01212 = + = + =

17、 xy xy xy EG MPa 7 . 5160sin60cos 22 30 = + + = xy yxyx ()()MPa128120sin120cos 22 60 = + + = xy yxyx 109 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m () 5 603030 106 . 6 1 = E 7-11 图示薄壁圆筒，平均直径50 mmd =，壁厚2 mm=，受轴向拉力 和力偶矩。为筒壁上任一点，求： 20 kNF = e 600 N mM =D （1）在点处沿纵横截面取一单元体，求单元体各面上的应力并画出单元体图； D （2）按图示倾斜方位取单元体，求出单元体各面上

18、的应力并画出单元体图； （3）求点处的主应力和主平面，并画出主单元体图。 D (a) (b) (c) (d) 解解（1）MPa7 .63 10250 1020 6 3 = = d F A F x ，0= y MPa4 .76 10250 6002 2 922 e p = = d M W T xy （薄壁近似公式） 或 () MPa3 .79 16 4 1 4 e p = = dD DM W T xy （本书第 3 章公式） 单元体如图（b）所示。 （2） ()MPa11460sin4 .7660cos 2 7 .63 2 7 .63 30 =+= () ()()MPa2 .50120sin4

19、.76120cos 2 7 .63 2 7 .63 60 =+= ()MPa6 .1060cos4 .7660sin 2 7 .63 30 =+= 单元体如图（c）所示。 （3） () =+ = MPa50.9- MPa6 .114 4 .76 2 7 .63 2 7 .63 2 2 3 , 1 ，0 2 = () 7 .63 4 .762 2tan 0 =，= 7 . 33 0 主单元体如图（d）所示。 讨论讨论：若用MPa3 .79= xy 计算，则 MPa116 30 = ，MPa 7 . 52 60 = ，MPa 1 . 12 30 = ； MPa117 1 =，0 2 =，MPa 7

20、 . 53 3 =，= 1 . 34 0 7-12 梁上某点A的应变为 3 0.50 10 x =， 4 1.65 10 y = 。材料的弹性模量 110 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 200 GPaE =，泊松比0.33=。求该点的正应力 x 及 y 。 解解 由 () yxx E = 1 () xyy E = 1 得 ()()MPa1001065. 133. 01050. 0 0331 10200 1 43 2 9 2 x =+ =+ = yx E ()01050. 033. 01065. 1 0331 10200 1 44 2 9 2 =+ =+ = xyy

21、 E 7-13 28a 号工字钢梁受力如图所示，钢材200 GPaE =，0.3=。现测得梁中性层 上点K处与轴线成方向的应变45o 4 2.6 10 = ，求梁承受的载荷。 F (a) (b) (c) 解解 图（b） 0= B M， 3 2F FA=， 3 2 S F FF A = 点 K 应力状态如图（c）所示。 () = 454545 1 E E= 13 ，= 1 ，= 3 E= dI SFE z zS 1 = + = （a） 查附录 D 型钢表得 m10 6 . 24 2 = zz SI, m105 . 8 3 =d 连同已知代入式（a）得 111 课后答案网 w w w .k h d

22、 a w .c o m () () N6408310 6 . 24 3 . 01 105 . 8106 . 210200 1 2 349 S = + = + = z z S IdE F kN125.5kN64.835 . 1 2 3 S =FF 7-14 受扭圆轴，直径，材料的20 mmd =200 GPaE =，0.3=，现测得圆轴表面 与轴线成45方向的应变，求扭矩T。 o4 102 . 5 = (a) (b) 解解 测点应力状态如图（b）所示。 3 p 16 d T W T =（为绝对值） （a） = 1 ,= 3 ()() += 1 1 31145 EE + = 1 E （b） 由式（a）,（b）得 ()() mN7 .125 0.3116 1020102 . 510200 116 93493 = + = + = dE T 7-15 某厚壁圆筒的横截面如图所