正余弦定理的综合运用

1、正弦定理、余弦定理综合运用,周至中学 白晓纯,余弦定理：,正弦定理：,复习：,（R是三角形外接圆半径）,实现边角互化,在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：,例1： 在 中， ，试判断三角形的形状,练习：1 .在 中，已知 ，判断三角形的形状,题型一:判断三角形形状,小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使 另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理,3.在 中，若 ，则 是( ) A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三角形,D,题型二：三角形中的化简求值题,

2、例2：ABC中，已知a=2，求bcosCccosB的值。,解:（化角为边）由余弦定理得：,bcosCccosB,c,b,解法二:（化边为角） 由正弦定理得：,bcosCccosB ,例2：ABC中，已知a=2，求bcosCccosB的值。,解法一：,代入 得：,由正弦定理得：,（化边为角）,例3：,解法二：由余弦定理得,代入 得：,整理得,（化角为边）,例3：,解：由余弦定理知：,（化边为角）,练习二,题型三:证明恒等式,方法一:边化角;,方法二:角化边;,小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来

3、看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。,1如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ ） （A）A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 （B）A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形 （C）A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 （D）A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形,思考题 判断三角形形状,解：A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0，所以A1B1C1是锐角三角形，,若A2B2C2也是锐角三角形，则,sinA2=cosA1=sin( A1)，则A2= A1，,同理 B2= B1，C2= C1，,矛盾,所以A2

4、B2C2不是锐角三角形， 选D。,练习：在ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC,题型四、面积问题,变式4、已知ABC的三边长 求ABC的面积,变式3、已知ABC的面积 求C角的大小？,变式1.ABC的面积为 求A,变式2、在ABC中， 求ABC的面积及外接圆半径,例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。,练习：,三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围,题型五、范围问题,1、（07年全国卷）,方法一：正弦定理,（1）,方法二：余弦定理,（2）,方法一：向量数量积定义,方法二：勾股定理,（3）,余弦定理,小结：,1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型： （1） 判断三角形的形状； （2） 三角形中的求值题。,2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼， 或统一转化为三角函数，作三角变换； 或统一转化为边，作代数变