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文档简介

1、第1节 矩阵的特征值与特征向量,第4章 矩阵的特征值,一、特征值与特征向量的概念,二、特征值和特征向量的性质,说明,一、特征值与特征向量的概念,说明,4.特征向量的求法：,为方阵A的一个特征值，,则由,可求得非零解,的基础解系，,的特征向量,注意 特征方程,有相同的,特征根；,A的对应于特征值的特征向量是,的非零解，,的非零解.,也是方程组,1.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,注意,2.一个特征值具有的特征向量,不唯一；,解,例1,例1,解,得基础解系为：,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,性质1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,二、特征值和特征向量的性质,证明,是A的

2、n个特征值，则,A的迹，tr(A),性质3: n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,证 必要性 若A是奇异矩阵，则,即0是A的一个特征值.,充分性 设A有一个特征值为0，,对应的特征向量为p,由特征值的定义，有,所以齐次线性方程组Ax=0有非零解p,由此可知|A|=0,即A为奇异矩阵.,性质3 : n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A,有一个特征值为零.,推论,n阶矩阵A可逆，当且仅当它的任一特征值,不为零.,例3 设是方阵A的特征值, 证明,推广,例3 设是方阵A的特征值, 证明,例3 设是方阵A的特征值, 证明,(1),例3 设是方阵A的特征值, 证明,（2）,是kAm的特征值,（3）,是AA2的特征值,结论,的特征值是,若是方阵A的特征值, 则,的特征值是,若是方阵A的特征值, 则,结论,若是方阵A的特征值, 则,例4 设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2, 求,解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故,定理1 n阶矩阵A的互不相等的特征值,对应的特征向量,线性无关.,性质：一个特征向量不能属于不同的特征值,按题设，有,是矩阵A的两个不同的特征值,对

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