1.7极限运算法则.ppt

1、1.7 极限运算法则,前面介绍了极限的定义，但由极限的定义只能验证某常数是否是某变量的极限，而不能求出变量的极限。,为了求得变量的极限，我们先介绍极限的运算法则，并利用这些法则求变量的极限。,一 极限的四则运算法则,则有,定理1 若,（1）,（2）,（3）,若 B0 , 则,证明:（1）,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 2 可知,也是无穷小,再利用函数极限,与无穷小的关系（定理1） , 知定理结论成立. （1.6）,说明: 定理 1(1)可推广到有限个函数相加、减的情形 .,证明:（2）,提示: 利用极限与无穷小关系定理（定理1）及本节定理 2证明 . （1.6）,说明: 定

2、理 1(2)可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论1 .,( C 为常数 ),推论2.,( n 为正整数 ),例1. 设 n 次多项式,试证,证:,为无穷小,(详见P44),证明:（3）,若 B0 , 则,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,推广 ： 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理1直接得出结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,若,例3.求,解：,原式=,练习：P49 T1(1),例4.求,代入法,解：,

3、因为,所以,小结1:若 为多项式函数，或当 时分母极限不为0的分式函数时，有：,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例5,倒数法,小结2:若 为分式函数，且 可用倒数法。,解,例6,(消去零因子法：分解因式),练习：P49 T1(7),解,例7,(消去零因子法：有理化),小结3:若 是 未定式，要设法消去零因子， 方法有：分解因式.有理化。,练习:,思考:,解:,例8,解,“ 抓大头”,例9,“ 抓大头”,例10,“ 抓大头”,( 如例8 ),( 如例9),( 如例10 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结4:,练习:,注意:,例如:,习题讲解:P49 T1(18),解,例

4、11,解,例12,小结5:若 是 型，可转化为 或有理化后求极限。,例13,解,小结6：无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小,P49 T1(12),例14,解,思考?,分析：括号内为无穷多项的代数和，不能直接使用极限的代数和运算法则。,P48 例6,例15,分析,例16,解,二 复合函数的极限运算法则,定理2. 设函数,是由函数,与函数,复合而成,在点,的某去心,邻域内有定义，若,且存在,当,时，有,则,证明: 略.,说明: 若定理中,则类似可得,例17. 求,解: 令,已知, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例18 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则运算法则,(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 代入法,(2) 倒数法,(3) 未定型,(4) 未定型,(5) 未定型,(6)无穷多项求极限,(7)有界函数与无穷小的乘积仍为无