选修4-1 几何证明选讲

1、真题感悟 考题分析,1(1)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,(2)相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角

2、边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 2(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数,3(1)圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补； 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 (2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 4(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 (2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (4)相交弦定理：圆内

3、的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 (5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,5证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换 6圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.,【例1】如图，BD、CE是ABC对应边上的高 求证：ADEABC.,热点一相似三角形的判定及性质,规律方法 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和

4、对应边 (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等,【训练1】 如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB9，则BM_,答案3,证明：(1)ACEBCD； (2)BC2BECD.,规律方法 在证明角或线段相等时，要注意等量代换在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理,【训练2】 如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB. 证明：(1)CDBC； (2)BCDGBD.,证明(1)如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知C

5、FAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.,因为CFAB，所以BCAF，故CDBC. (2)因为FGBC，故GBCF. 由(1)可知BDCF，所以GBBD. BGDBDG，由BCCD知，CBDCDB. 又因为DGBEFCDBC， 故BCDGBD.,【例3】 如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M. 证明：(1)DC是O的切线； (2)AMMBDFDA.,热点二 “四定理”相交弦定理、割线定 理、切割线定理、切线长定理的应用,证明(1)

6、如图，连接OC，OAOC， OCAOAC.又AC是BAF的平分线，DACOAC. DACOCA.ADOC.又CDAD，OCCD，即DC是O的切线,(2)AC是BAF的平分线，CDACMA90， CDCM. 由(1)知DC2DFDA，又CM2AMMB， AMMBDFDA. 规律方法 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理,【训练3】 如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2ECEB.,证明因为AE是圆的切线， 所以ABCCAE. 又因为AD是BAC的平分线，

7、 所以BADCAD. 从而ABCBADCAECAD. 因为ADEABCBAD， DAECAECAD，,所以ADEDAE，故EAED. 因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知， EA2ECEB. 而EAED，所以ED2ECEB.,【例4】 如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆； (2)EC平分DEF. 证明(1)在ABC中，因为B60， 所以BACBCA120. 因为AD、CE是角平分线， 所以HACHCA60， 故AHC120.,热点三四点共圆的判定,于是EHDAHC120. 因为EBDEHD180， 所以B、D、H、E四点共圆 (2)连接BH，则BH为ABC的平分线， 得HBD30. 由(1)知B、D、H、E四点共圆， 所以CEDHBD30. 又AHEEBD60， 由已知可得EFAD，可得CEF30. 所以EC平分DEF.,规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,【训练4】 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在