第一讲(高等数学方法简介)..ppt

1、,科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁。,数学方法是数学的灵魂,高等数学方法,主讲教师: 吴楠,前言,一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段),1. 科学方法的重要性,科学,是什么 , 为什么,技术,做什么 , 怎么做,科学方法,桥梁与钥匙,数学,思维的体操,科学的语言,生活的需要,(思路),(表达),(应用),数学方法,对数学规律的认识,思维方法,解题方法,(是数学的灵魂),2. 数学方法的含义,二. “高等数学方法”的结构与学习方法,(参考前言第二、三段),第一部分 (第一至第七章),每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题,第二部分 (第八至

2、第十一章),包括综述和提高,(从古典数学向近代数学靠拢 ),学习方法:,1. 将数学内容和数学方法相结合,2. 重视分析问题和解决问题的方法,3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养,华罗庚 （1910 - 1985）,“聪明在于勤奋, 天才在于积累”,“学而优则用, 学而优则创”,“由薄到厚 ,由厚到薄”,注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。,参 考 书,张晓宁、李安昌： 高等数学方法 中国矿业大学出版社,教学安排参考,第一、二讲 高等数学中的方法综述 第三讲 研究函数与极限的基本方法 第四讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第五讲 导数应用的方法 第六讲 积分学的概念

3、、性质和不定积分的 计算法 第七讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法,第八讲 几类常微分方程的求解法 第九讲 空间解析几何方法及其应用 第十讲 研究多元函数微分学概念的方法 第十一讲 多元函数微分法及其应用 第十二讲 二重及三重积分的计算法 第十三讲 线面积分的计算法 第十四讲 级数的收敛、求和及展开法 第十五讲 试题类型及解题方法分析,第一、二讲,高等数学中的 分析问题 和 解决问题的 方法,一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 ),数学模型,客观实际问题内在规律性的数学,具有形式化、符号化、简洁化的特点.,是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种 解释 .,数学建模

4、方法,实验归纳法,理论分析法 ( P514 ),物理模型,数学模型,求解和分析,结构.,可无限逼近,例如 , 为什么用,及,语言定义极限 ?,用圆内接正多边形面积逼近圆面积 A .,圆内接正 n 边形的面积为,(正整数) ,当,时,有,记作,精度要求,边数足够多,找出,利用极限知识可求出 :,测量圆面积,直接观测量为 r,间接观测量为 A,半径真值为,面积真值为,测量圆半径得,计算圆面积为,任给精度,要使,寻找精度,让,记作,又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ?,运动规律,平 均 速 度,速度函数,平 均 加速度,转动规律,平 均 角速度,电量函数,平 均 电流强度,质量分布,平均线密度

5、,光滑曲线,割 线 斜 率,( 描述变化率问题 ),再如 , 椅子稳定问题 (P515P516),假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .,建模:,设 A , C 两脚与地面的距离之和为,B , D 两脚与地面的距离之和为,不妨设,且对任意,有,证明存在,使,证明: 设,又,由连续函数零点定理可知 , 存在,使,即,又知,所以,思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?,二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455),1. 简化方法 2. 直观分析法 3. 逆向分析法 4. 类比法 5.归纳思维 6.发散思维,1. 简化方法,复杂问题,简单问题,分解法 变换法 换元法 递推法 转化法,

6、单调递减。,提示: 令,则转化为讨论下述函数,在 t 0 时单调递减 .,注意,说明 1.,与,具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值问题 与单调性问题 .,2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单 函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.,例1. 证明,设, 求,提示：将函数化为,则,例2.,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得,(1) 由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方

7、程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,2. 直观分析法, 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论., 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示., 有关几何应用题尽量画出图形找几何关系 ., 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.,的图形关于,例1. 设定义在实数域上的函数,直线,及,对称 , 试证,为周期,函数 . ( P.447 例4 ),证:,有,例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?,分析:,由图可知 , 设辅助函数,(C 为任意常数 )

8、,都可使 F( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件 ,因此所设辅助函数不唯一 .,例3.如何求函数,的斜渐近线,分析:,由图可知, 若曲线,有斜渐近线,则必有,从而,例如 , 求曲线,的斜渐近线,解:,所以曲线有斜渐近线,在,上连续, 在,内,存在 , 连接两点,的直线交曲线,于,且,试证至少存在一点,使,提示:如图所示, 有,在,上应用Rolle定理,对,（ P118 题7 ）,例4.已知,证明不等式,例5.已知,逆向思维,反推 执果溯因,反证 利用正命题与逆否命题等价， 多用于否命题,反例 找反例说明原命题不正确,3. 逆向分析法,在 上连续,在 内可导,且,试证至少存在一点 使得

9、,分析:,转化为证,可见只要对,上用 罗尔 中值定理.,由于,在,例1. 设函数,在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得,分析:,转化为证,上满足 Lagrange 定理条件 ,使,则只需证明,可见只要对,上用 Cauchy 中值定理.,( P450,考研98 ),由于,在,则有,及,在,例2. 设函数,无实根. ( P451 例7 ),分析:,用反证法. 假设有实根,代入,上式两边异号, 矛盾, 假设不真!,利用,显然,则有,例3. 证明方程,在 可导, 则在 处必连续 ,答: 不一定 . 例如设函数,问在 的充分小的邻域内 是否连续 ?,例4.已知函数,但,时,即,时,都间断 .,类比是找相似性, 是发现问题和