任意角的三角函数

1、任意角的三角函数,初中学过的锐角三角函数定义:,复习回顾：,如图，在直角三角形ABC中sin，cos，tan分别叫做角的正弦、余弦和正切。,即:,复习回顾：,那么，当角不是锐角时，我们必须对锐角三角函数sin，cos，tan的值进行推广，才能适应任意角的需要.,复习回顾：,学习目标：,1.掌握任意角的正弦，余弦和正切的定义； 2.理解三角函数的符号； 3.理解公式一，并会应用,新课导入,1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,新课导入,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:,y 叫的正弦，即,x叫的余弦，即,叫的正切，即,

2、一、任意角的三角函数的定义:,思考：对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的sin，cos，tan的值是否存在？是否惟一？,一、任意角的三角函数的定义:,看以看出，对应关系 ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数。,一、任意角的三角函数的定义:,.,说 明,1.正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.,2.正弦、余弦总有意义.当 的终边y 轴上时，点P 的横坐标等于0， 无意义，此时,3.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数

3、.,说 明,1.任意角三角函数给了两个定义，其中定义1更具有一般性，定义2是定义1的特殊情况，定义2使用比定义1更简单。,例1.如图已知角的终边与单位圆的交点是 ， 求角的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。,变式1.求 的正弦、余弦和正切值.,解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为,所以,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：要求某个角的三角函数只要找出角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可,例2.已知角 的终边经过点 ，求角

4、 的正弦、余弦和正切值 .,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、 作 轴的垂线 、,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,于是，,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,例2.已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .,【反思】：利用相似三角形转化成单位圆角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可,可见， 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,于是，,例3. 已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：任意角三角函数定义推广后，就不需要转化，直接用定

5、义的推广来求解方便快捷。,变式2：已知角的终边经过点P(2a,-3a)，求角的正弦、余弦、正切值,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：很显然用任意角三角函数定义推广来求解。但是要注意角的终边落在直线上有两种情况，一定要分类讨论，避免漏解。,1.在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？,思考和探究,三角函数的定义域,口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”,2.确定三角函数值在各象限的符号,思考和探究,3.几个特殊角的三角函数值,思考和探究,例4. 求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角.反之也

6、对,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 角的三角函数值 .,终边相同的角的同名三角函数值相等，即,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同名三角函数值有何关系？,思考,公式一的作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数值 .,（1）因为 是第

7、三象限角，所以 ；,（3）因为 = 而 是第一象限角，所以,解：,（2）因为 是第四象限角，所以,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：先判断角所在象限，然后根据“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”判断三角函数值的符号,解：,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数，然后用特殊角三角函数来求值 .,变式4.已知 在第二象限, 试确sin(cos)cos(sin) 的符号.,解: 在第二象限,-1cos0, 0sin1.,sin(cos)0.,sin(cos)cos(sin)0.,故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：先判断cos 和sin 的范围，进而确定所在象限，然后根据“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”判断三角函数值的符号,例题+变式 任意角三角函数定义的应用,【反思】：利用公式一和特殊角三角函数来求值 .,题目部分,A,B,题目部分,题目部分,题目部分,题目部分,题目部分,7.（难度：简）求 的正弦、余弦和正切值.,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,题目部分,题目部分,题目部分,题目部分,