机械振动学课件第二章单自由度系统

1、第二章 单自由度系统,主要内容,2.1. 概述,2.2. 无阻尼自由振动,2.3. 能量法,2.4. 有阻尼自由振动,2.5. 简谐激励作用下的强迫振动,2.6. 简谐激励强迫振动理论的应用,2.7. 非简谐激励作用下的系统响应,单自由度系统的理论模型 理想质量、理想弹簧、理想阻尼组成； 系统的运动只沿一个方向。 单自由度系统是机械振动学研究基础。,2.1. 概述,2.1.1. 线性系统与叠加原理,系统受到激励，则产生响应 线性系统满足叠加性和齐次性 线性体统各个激励互不影响,2.1.1. 线性系统与叠加原理,时不变集中参数线性系统 由常系数线性微分方程描述,是决定于系统的系数。,2.1.2.

2、 非线性系统的线性化,单摆的运动微分方程为非线性,将sin做Taylor展开,微幅振动决定于分析要求的精度,2.2. 无阻尼自由振动,质量为m的质量块和弹簧常数为k的弹簧是组成振动系统最基本的元件。,2.2. 无阻尼自由振动,静平衡条件：,给予系统某种扰动：,2.2. 无阻尼自由振动,根据牛顿第二定律：,如果坐标原点选在系统的静平衡位置，则可不考虑重力的影响。,2.2. 无阻尼自由振动,单自由度无阻尼系统的运动微分方程：,2.2. 无阻尼自由振动,简谐振动固有频率：,2.2. 无阻尼自由振动,振幅与初相位,与初始条件和系统参数有关,2.2. 无阻尼自由振动,例、,2.3. 能量法,机械能守恒定

3、律,无阻尼弹簧质量系统， 没有能量耗散， 没有持续的激励。,2.3. 能量法,用能量法确定运动微分方程 系统动能： 系统势能：重力势能与弹性势能之和。,2.3. 能量法,用能量法确定系统固有频率 对于保守系统：,2.3. 能量法,用能量法确定弹簧等效质量 已知：弹簧单位长度重量为r；弹簧位移速度线性变化,2.3. 能量法,2.4.1. 粘性阻尼 2.4.2.粘性阻尼自由振动 2.4.3.结构阻尼 2.4.4.库仑阻尼,2.4. 有阻尼自由振动,粘性阻尼,2.4.1. 粘性阻尼,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,2.4.2. 粘性阻尼

4、自由振动,阻尼比,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,特征值 特征值 的性质决定于 (1).,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,(2).,小阻尼,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,(2).,小阻尼,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,(3).,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,(4).,强阻尼,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,例 一阻尼弹簧质量系统，m=8kg k=5N/mm c=0.2Ns/mm。试确定质量m振动时的位移表达式。,对数衰减率例、有一个有阻尼系统，质量为m，弹簧常数为k，测量得到其振动数据，试确定其阻尼大小。,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,2.4.2. 粘性

5、阻尼自由振动,对数衰减率（续）,对数 衰减率,2.4.2. 粘性阻尼自由振动,对数衰减率（续）,小阻尼,有阻尼系统，由自由振动数据求阻尼大小。,更精确起见，一般情况下用相隔n个周期的振动幅值之比来计算系统阻尼。,结构阻尼弹性材料受力变形而产生的内摩擦。用能量损失定义，与振幅呈非线性关系。,2.4.3. 结构阻尼,2.4.4. 库仑阻尼,库仑阻尼物体在无润滑的表面滑动产生的干摩擦。干摩擦力大小正比于接触表面间的法向力，方向与运动方向相反：,2.4.4. 库仑阻尼,库仑阻尼系统的运动方程：,2.4.4. 库仑阻尼,假定系统受到初始条件 的作用，系统向左运动，则系统位移表达式为：,2.4.4. 库仑

6、阻尼,对于下半个循环初始条件为：,2.5. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动 2.5.2. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 2.5.3. 基础运动引起的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,二阶常系数线性非齐次微分方程：,方程解为对应的齐次方程的通解加上特解。,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,齐次方程 的通解：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,求非齐次方程 的特解。,复振幅,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,因此，非齐次方程的特解为： 最终得到方程 的

7、解为：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,方程 描述的振动运动：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,方程 描述的振动规律：1、系统运动是频率为 和 的两种简谐振动的合成；2、阻尼的存在使得 简谐振动逐渐衰减消失，xh(t)和xs(t)的合成运动仅存在于有限时间，称为瞬态振动；3、系统持续振动只与外界激励有关的响应xs(t)， xs(t)称为稳态振动、稳态响应或强迫振动。,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,强迫振动的性质系统的稳态响应与激励力同频，滞后,强迫振动的幅值和相位只与外界激励和系统参数有关，与初始条件无关。,F，w,m, k, c,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振

8、动,强迫振动振幅：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,当 ，即存在阻尼时求放大系数M的极值：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,强迫振动和激励力之间的相位差：,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,例 一固有频率为 的无阻尼系统，受到一简谐激励力 的作用，试确定其强迫振动。,原来的特解无效,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,课堂练习,2.5.1. 简谐激励作用下的强迫振动,解答

9、：,2.5.2. 旋转不平衡质量引起的强迫振动,在许多旋转机械中，转动部分总存在质量不平衡，可以简化为如下模型，研究其强迫振动。,2.5.2. 旋转不平衡质量引起的强迫振动,2.5.2. 旋转不平衡质量引起的强迫振动,2.5.2. 旋转不平衡质量引起的强迫振动,2.5.3. 基础运动引起的强迫振动,基础运动引起的强迫振动,例 汽轮发电机组振动测量系统如下，如果测得的峰峰值为0.18mm，求机组的振幅。,2.5.3. 基础运动引起的强迫振动,系统可以简化为如下模型：,假定机组的振动为 读数系统： m1=1Kg K1=7.5104N/m 读数系统： m2=1.8Kg K2=15104N/m,2.6

10、.简谐激励强迫振动理论的应用,2.6.1. 隔振 2.6.2. 振动测试仪器,2.6.1. 隔振,振动常常对仪器、机器、设备的工作性能产生危害。隔振是消除影响的一种有效措施。 主动隔振把振源和地基隔离开，以减少其对周围环境的影响而采取的措施。 被动隔振为了减小外界振动对设备的影响而采取的隔振措施。,2.6.1. 隔振,主动隔振,2.6.1. 隔振,被动隔振,基础引起的强迫振动,位移传递系数,力传递系数,传递系数,无论阻尼比多少，仅在 才有隔振效果； 对于某个给定的 值，当阻尼比减小时，传递系数也减小。,2.6.2. 振动测试仪器,振动测试仪器有三种基本形式：测试加速度、速度、位移。工作原理都是

11、利用基础运动引起的系统振动。,设计振动测试仪器的基本依据,2.6.2. 振动测试仪器,位移传感器如果测试频率比仪器的固有频率高很多：,r1,因此，质量块m的绝对位移接近零，为位移测量提供基准。,2.6.2. 振动测试仪器,位移传感器总结位移传感器时一种固有频率很低的振动测试仪器。测试系统包含高次谐波时将会提高测试精度。 仪器的阻尼系数最好为 。,2.6.2. 振动测试仪器,加速度传感器如果测试频率比仪器的固有频率低很多：,r1,相对位移z与测试对象的加速度成正比。,2.6.2. 振动测试仪器,加速度传感器总结加速度传感器时一种固有频率很高的振动测试仪器。其固有频率至少比测试的最高频率高两倍。

12、仪器的阻尼系数最好为 。,2.6.2. 振动测试仪器,速度传感器如果测试频率等于仪器的固有频率：系统阻尼c对环境变化比较敏感。,r1,相对位移z与测试对象的速度成正比。,2.7. 非简谐激励作用下的系统响应,2.7.1. 周期激励作用下的强迫振动 2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,2.7.1. 周期激励作用下的强迫振动,稳态响应,2.7.1. 周期激励作用下的强迫振动,例 无阻尼单自由度系统受到方波激励，求其稳态响应。,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,将非周期激励分解为一系列脉冲，求得系统对每一脉冲单独激励的响应； 根据叠加原理，将一系列脉冲响应进行叠加得到系统对整个激励的响应。,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,单位脉冲函数（ ）的性质：,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,冲量： 脉冲力的冲量表示： 零时刻作用的脉冲力：,t=a时刻产生的冲量为 的力,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,弹簧阻尼单自由度系统受到 脉冲力作用的运动微分方程： 初始条件为：,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,则系统响应相当于在此初始条件下的自由振动：,2.7.2. 非周期激励作用下的系统响应,系统响应：,脉冲响应函数：,单位脉