金融工程 第八章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型

1、第14章 Black-Scholes-Merton 模型,金融工程,内容提纲,股票价格和收益的分布性质 波动率 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程 风险中性定价 布莱克-斯科尔斯定价公式 隐含波动率 股息对期权定价的影响,2,金融工程 第八章,金融工程 第八章,3,维纳过程：布朗运动,假设股票价格的波动为布朗运动（维纳过程），在离散情况下，则为随机游走序列。 ：股票价格在一个很短的时间内的变化。 ：股票的年收益率期望 ； ：股价的年波动率。 dz基本维纳过程 ：(1) ，其中dz代表影响股票价格变化的随机因素 标准正态分布 ；(2)在任何两个不相重叠的dt内，变化量dz相互之间独立（方差可加）。,

2、马尔科夫过程与维纳过程,性质1， dz本身服从正态分布，并且dz的期望值=0， dz的方差=dt；性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。 马尔科夫过程：只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量的历史以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 马尔科夫过程与弱有效市场一致：股票的当前价格包含过去价格的所有信息。,金融工程 第八章,4,14.1 股价的对数正态分布性质,令股价为S 定义：m 为股票每年的收益率期望；s为股票价格每年的波动率 在 Dt时间段股票收益(DS/S)的均值为m Dt，标准差为 ，股票收益服从正态分布： 代表期望为m，方差为v的正态分布。,金融工程 第八章,5,对数正态

3、分布：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么我们就定义这个随机变量本身服从对数正态分布：lnST 服从正态分布， 则ST 服从对数正态分布。,6,金融工程 第八章,对数正态分布,例14-2 P212,7,金融工程 第八章,14.2 收益率的分布,若 x代表从0T之间以连续复利计的收益率，则,金融工程 第八章,8,14.3 预期收益率,股价在T时刻的期望值为S0emT； 在一个短期Dt内股票价格变化百分比的期望值是mDt； 在所有数据覆盖的区间上，股票的连续复利收益率的期望为m s2/2； mDt =E(DSi/S)，在每个小区间上股票价格的平均收益率。,金融工程 第八章,9,14.4 波动率

4、 volatility,股票的波动率是用来度量股票提供收益的不确定性； 股票价格的波动率可以被定义为股票在1年内按连续复利所提供收益率的标准差。 在Dt时间内股票价格百分比变化（收益率）的标准差为： 如果股价为$50 ，波动率为 30% ，对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于：,10,金融工程 第八章,14.4.1 历史数据法,1、在时间长度为t年内，每个区间结束时，观察到股价为 S0，S1， . . .，Sn 。 2、计算第i个区间结束时的股票收益率: 3、计算ui的标准差 s; 4、由（14-2）得： ui的标准差 为 ，因此有：,11,金融工程 第八章,14.4.2 交易日天数与日

5、历天数,交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高； 因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易日天数（252天）而不是日历天数；,金融工程 第八章,12,14.5 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念,背景：1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称

6、B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。,13,金融工程 第八章,基本思路：构建无风险交易组合,构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于无风险利率r。 原因： 股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价变动）的影响； 在任意短时期内，衍生品价格与股价完全相关性； 在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏； 例：假设c=0.4S，可构造无风险交易组合： 0.4只股票的多头； 一个看涨期权的空头；,14,金融工程 第八章,15,金融工程 第八章,假设：,金融工程 第八章,16,1、股票价格遵循几何布朗运动，其中 u 和 s 为常数； 2、可以卖空证券，并且可以完全

7、使用所得收入； 3、无交易费用和税收，所有证券均可无限分割； 4、在期权期限内，股票不支付股息； 5、不存在无风险套利机会； 6、证券交易为连续进行； 7、短期无风险利率r为常数，并对所有期限都是相同的。,：,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,（1）由于股票价格S遵循几何布朗运动，在一个小的时间间隔t中，S的变化值S： （2）设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f是S和t的函数，根据伊藤引理可得，在一个小的时间间隔中，f的变化值f为：,17,金融工程 第八章,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,（3）为了消除维纳过程（风险源）z ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和

8、单位股票多头的组合。 令 代表该投资组合当前的价值，则： 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： 代入f 和S表达式，可得,金融工程 第八章,18,金融工程 第八章,19,14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导,14-16,边界条件 key boundary conditions,边界条件定义了衍生产品在S和t的边界上的取值。 欧式看涨期权的关键边界条件为：f = max（ST - K，0） 当t=T时； 欧式看跌期权的关键边界条件为：f = max（K- ST ，0） 当t=T时； 例14-5，验证B-S-M微分方程,20,金融工程 第八章,14.7 风险中性定价,布莱克斯科尔斯默顿

9、微分方程不包含任何影响投资者风险偏好的变量（）。方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，它们均与风险偏好无关。 这意味着，无论风险偏好状态如何，都不会对f 的值产生影响。因此我们可以假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 风险中性定价原理：假定标的资产的期望收益率为无风险利率（即假定u =r）；计算衍生证券的期望回报；用无风险利率对期望回报贴现。,21,金融工程 第八章,应用于股票远期合约,远期合约多头，到期时刻的价值： 远期合约在时间0的价值：其在风险中性世界里

10、T时刻的期望价值以无风险利率贴现后的值。,金融工程 第八章,22,对 右边求值是一种积分过程，结果为：,其中，,N（x）为标准正态分布变量的累积概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，有 。,这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。,23,14.8 布莱克-斯科尔斯定价公式,金融工程 第八章,14-20,金融工程 第八章,24,N()=1； N(-)=0,风险中性定价,（1）在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为： 其中 ：表示风险中性世界里的期望值。 （2）根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的

11、现值，即：,25,金融工程 第八章,金融工程 第八章,26,欧式看涨期权,风险中性世界里期权到期时回报的期望值： 为风险中性世界中的期望值 ，欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，,ST概率密度,金融工程 第八章,27,随机变量W的概率密度函数h(W)为：,令,其中,金融工程 第八章,28,29,理解BSM定价公式I,可以用股票和负债复制期权。 可以证明 是构造无风险组合时的，是复制投资组合中股票的数量，S0N(d1)就是股票的市值。 Ke-rTN(d2)是复制交易策略中负债的价值。 因为主要参数都是时变的，因此这种复制策略是动态复制策略，必须不断调整相关头寸的数量。,在B

12、-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于K的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率；KN(d2)是执行价格乘以其被支付的概率，即期望值。 S0 N(d1) erT= ST N(d1)是一个在ST K 时，等于ST ，在其他情形等于0的变量，在风险中性世界的期望值。,因此，这个公式就是期权到期时期望回报值的贴现。,金融工程 第八章,30,理解BSM定价公式,根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系c + Ke-rT = p+S0 ，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：,金融工程 第八章,31,无收益资产的欧式看跌期权的定价公式,14-21,B-S-M公式的性质,（1）当股票价格S

13、0很大，欧式看涨期权几乎肯定会执行，看涨期权价格： S0 -K e-rT ，欧式看跌期权价格趋于0。 （2）当股票波动率接近于0，股票价格几乎无风险，T时刻股票价格会增长到S0 erT ，看涨期权的回报为 max（S0 erT K，0）。以无风险利率r贴现，看涨期权价格： e-rT max（ S0 erT - K,0）= max（ S0 Ke-rT,0） 看跌期权的价格总是max( Ke-rT S0 ,0 ) （3）当 S0 接近于0时，c 趋向于0，p 趋向于 Ke-rT S0 。,金融工程 第八章,32,我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产当前价格、

14、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前四个都是很容易获得的确定数值。但是标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。,33,14.11 隐含波动率 implied volatility,金融工程 第八章,隐含波动率：资本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。 所谓的隐含波动率，即根据B-S-M期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，迭代计算得到的波动率数据，然后用于

15、其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。 用市场上交易较为活跃的期权估算其他期权的波动率。,34,金融工程 第八章,14.12 股息 Dividend,在收益已知的情况下，我们可以把标的证券的价格分解成两部分：期权有效期内已知收益的现值部分（无风险部分）和一个有风险部分。在期权到期之前，收益现值部分将由于标的资产支付收益而消失。 因此，只要从标的证券当前的价格 S0 中消去收益现值部分（贴现利率为无风险利率,贴现日期为除息日），将剩下有风险部分的证券价格作为真正影响期权价值的标的资产价格，用 表示证券价格中风险部分的波动率，就可直接套用公

16、式分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。,金融工程 第八章,35,14.12.1有收益资产的欧式期权的定价公式,因此，当标的证券已知收益的现值为d时，我们只要用（S0d）代替公式14-20中的S0 即可求出有收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。,当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将S0 e-qT 代替S0 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。,一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收

17、益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。,36,14.12.1有收益资产的欧式期权的定价公式,金融工程 第八章,金融工程 第八章,37,对于发放股利D的股票期权的定价： 其中， d是股利用无风险利率折现的现值：,有收益资产的欧式期权的定价公式（1）,【例14-9】考虑一个欧式股票看涨期权，股票在2个月和5个月后分别有一个除息日。预计在每个除息日股息都是 0.5。股票目前价格为40，执行价格为40，股票价格的波动率为年率30%，无风险利率为年率9%，期权期限为6个月。求该期权的价格。,金融工程 第八章,38,39,支付连续股息收益率的欧式股票期权定价公式（2）(Equat

18、ions 16.4 and 16.5),14.12.2 美式期权,(1)无收益资产的美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：,金融工程 第八章,40,当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。 该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理， 若不合理，则按欧式期权处理； 若在tn 提前执行可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。