数系的扩充和复数的概念公开课

1、第三章 数系的扩充与复数的引入,.1 数系的扩充和复数的概念,人类在远古时代，由于生产需要，学会了以对应的方法来计算事物的个数，如“屈指”计数，“结绳”计数，“堆石子”计数等。经过长期的实践，把表示事物的个数：“一个”、“二个”、“三个”，；或把表示事物的次序：“第一”、“第二”、“第三”，抽象出来的数 1，2，3，4， 叫做自然数。,公元前6世纪的巴比伦用空出一格来表示“零”。 “0” 是印度人的卓越发明。,我们知道“0”以前不属于自然数，零作为符号和作为数经历长期的发展过程。,刘徽说明：“今两数得失相反，要令正负以名之”数系也就由自然数系扩展为整数系。,从自然数到整数:自然数的 加法仍是自

2、然数，但相减呢不一定是自然数，于是有了负数.,记载分数最古老的典籍是约公元前1500年埃及 Ahmes 著的草纸书。 欧洲在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。,中国在秦始皇时期的历书（公元前246年）拟订一年的日数是 天,整数集对于加、减、乘能保证其封闭性。但对于除法运算不是封闭的。这样产生了分数。,公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与其一边不可公度。希腊人叫它“没有比”西方译为“ irrational number ” 我国的徐光启、李善兰把它译为“无理数”。,整数与分数构成了有理数集。,从有理数到实数经历了漫长的过程。从毕达哥拉斯学派发现 与1不可公度，即

3、不能表示成两个整数之比，到它的理论基本完成，经历了二个世纪。在数学史上是罕见的。,数系的扩充,用图形表示包含关系：,复习回顾,实数集的出现给了我们一个范围异常之广的数的家庭。那它是否是封闭的呢？,可以知道对于加、减、乘、除（除数不为零）以及乘方运算来说是封闭的。,但是对于乘方的逆运算开方来说就不是的。,知识引入,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。,这样我们有不得不重新考虑数集的扩展。,引入一个新数：,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合

4、律和分配律)仍然成立。,思考:,在i 的规定下，i与实数相加的结果形式如何？ 相乘呢？,复数有关概念,复数Z=a+bi (aR， bR )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作:z =a+bi （aR，bR），把这一表示形式叫做复数的代数形式。,其中 称为虚数单位。,观察复数的代数形式,当a=_且b=_时，则z=0,当b=_时，则z为实数,当b_ _时，则z为虚数,当a=_且b_ 时，则z为纯虚数,0,0,0,0,0,0,2、复数a+bi,复数的分类,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪

5、些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5 +8,0,2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数,例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是 纯虚数,练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,思考：,如何定义两个复数的相等？,注意：一般对两个复数只能说相等或不相等。,0,0,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,不全为实数的两个复数不能比较大小。,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数