第12章-弯曲变形.ppt

1、,第十二章 弯曲变形,工程力学,121 引言 122 挠曲轴近似微分方程 123 计算梁位移的积分法 124 计算梁位移的叠加法 125 简单静不定梁 126 梁的刚度条件与合理刚度设计,第十二章 弯曲变形,12 引 言,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 f 同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f (x),三、转角与挠曲

2、线的关系：,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,12-2 挠曲轴近似微分方程,一、挠曲线近似微分方程,式（2）就是挠曲线近似微分方程。,小变形,x,f,x,f,（2）,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,1.微分方程的积分,2.位移边界条件,12-3 计算梁位移的积分法,讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。,支点位移条件：,连续条件：,光滑条件：,例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线

3、、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,解：,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,f,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,x,应用位移边界条件求积分常数,x,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,x,12-4 计算梁位移的叠加法,一、叠加法 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、逐段分析求和法,要点：首先分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位 移，然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需 求之位移。,例2 按叠加原理求A点转角和C点 挠度

4、。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例3 按叠加原理求C点挠度。,解：载荷无限分解如图,由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,叠加,C,例4 按逐段分析求和法说明。,=,+,12-5 简单静不定梁,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立相当系统,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构相当系统。,=,x,f,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力

5、、应力、变形等）,几何方程 变形协调方程：,解：建立相当系统,=,例5 结构如图，求B点反力。,LBC,x,f,C,=,+,=,LBC,x,f,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、 变形等）,12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；w称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、设计载荷。,(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、梁的合理刚度设计,1、合理选择截面形状,2、合理选用材料,3、梁的合理加强,4、梁跨度的选择,5、合理安排梁的约束与加载方式,例6 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核核此杆的