第八章应力状态和强度理论

1、第 八 章,应力状态和强度理论,8-1 应力状态的概念 8-2 用解析法分析二向应力状态 8-3 用图解法分析二向应力状态 8-4 三向应力状态 8-5 应力与应变间的关系 8-6 三向应力状态下的应变能密度 8-7 强度理论及其相当应力,目录,主要内容,【学 时】8 【基本要求】,理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念。 了解应力状态的分类。 掌握二向应力状态下应力分析的解析法。 掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。 掌握广义虎克定律。 了解体积改变比能和形状改变比能。 理解强度理论的概念;掌握四个常用强度理论。 了解各种强度理论的使用范围。,【重点】平面应力状态的解析法，广义虎克

2、定律，四个常 用强度理论 【难点】应力状态的概念，强度理论的概念。,通过研究三种基本变形的强度问题,我们已认识 到:不同横截面应力不同;同一横截面上, 不同 点处应力也不同;同一点不同截面方位的应力也 是变化.因此,要全面研究一点处各截面的应力 应力状态理论的任务。 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生 的？,8-1 应力状态的概念,一.问题的提出,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,解释这些现象,必须研究一点所有截面上的应力,从而知道哪个面上的应力最大 应力状态理论的任务。,拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件,

3、对于更复杂的受力状态，如图中A截面上的C点?,研究材料在复杂应力状态下的破坏规律强度理论的任务。,二.基本概念,一点应力状态：受力构件内任意点各截面,方位上的应力情况.,研究的依据,: 围绕一点所取各个方位截 面上的各种应力组合之间存 在着某种理论联系.,研究的方法: 以单元体为研究对象或模型. 单元体:构件内的点的代表物，是包围被 研究点的无限小的几何体，常用 的是正六面体.,单元体的性质:同一面上，应 力 均布；平行面上， 应力相等.,围绕一个受力点可以有 无数多个单元体.,S平面,实例分析,例题8-1,例题8-2,S平面,剪应力为零的面,主平面：,主应力: 主平面上作用的正应力,主单元体

4、:各侧面上只有正应力作用,而无剪应 力作用的单元体,三.结论,无穷个一点的应力状态不独立，可以相互表示 任一点都存在一个主单元体,且三个主应力表为,四.应力状态分类：,空间（三向）应力状态,平面（二向）应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,三向应力状态,平面应力状态,一.斜截面上的应力,8-2用解析法分析二向应力状态,列平衡方程：,利用三角函数公式,并注意到 化简得,二.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,设0 时，上式值为零，即,三. 正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,所以极值正应

5、力就是主应力,确定正应力极值：,即,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面,也就是主平面.,回代，得最大和最小正应力分别为：,由此得两个驻点：,也就是平面应力状态的两个主应力,平面应力状态的另一个主应力为零.,在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限,确定剪应力极值：,得,回代，得最大和最小剪应力分别为：,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,例题8-3： 一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1） 斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向

6、：,（3）主应力单元体：,单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数,已知：图示原始单元体。求：,例题8-4:,例题8-5 ：分析受扭构件的破坏规律,解：确定危险点并画其 原始单元体,求极值应力,M,C,tyx,破坏分析,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,8-3 用图解法分析二向应力状态,利用三角恒等式，可以将前面所得的关于 和 的计算式写成方程：,一. 应力圆：,半径:,圆心坐标:,圆方程 ：,应力圆,二.应力圆的画法,在 坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点D和 ,连 交 轴于C点，C即为圆心，CD 为 应力圆半径。,应力圆上某一点的坐标值对 应着微元某一截面上的

7、正应力和切应力.如,三.几种对应关系,H点(横、纵坐标)分别代表了斜截面上的 正应力和剪应力.,点面对应：,转向对应：半径旋转方向与方向面法线 旋转方向一致； 二倍角对应:半径转过的角度是方向面 旋转角度的两倍。,2,A,D,主平面:应力圆上和横轴交点所对应的面,四. 主平面、主应力、最大剪应力,主平面与主应力,主应力：主平面上的正应力,在应力圆上主应力=圆心半径,即主应力为,面内最大剪应力:对应应力圆上的最高点的面 上剪应力最大，称为“ 面内 最大剪应力”,其值为, max,d,a,c,例题8-6,实力分析,轴向拉伸(压)或单向应力状态, 正、负45方向的斜截面上既有正应力又有剪应力，但正应

8、力不是最大值，剪应力却是最大。,结果表明：,B,E,例题8-7,纯剪应力状态,正、负45方向面只有正应力没有剪应力，而且正应力绝对值为最大,且等于 。,结果表明：,sm = ?,st = ?,承受内压薄壁容器任意点的应力状态,例题8-8,一.定义,8-4 三向应力状态,若一点处的单元体如下图所示，则该点处于三向应力状态。,或若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处于三向应力状态。其主应力为,平行于1的面之应力与1无关，于是由2、3可作出应力圆I;平行于2的面之应力与2无关，于是由1 、3可作出应力圆II;平行于3的面,之应力与3无关，于是由1 、2可作出应力圆III.,二.三向应力状

9、态的应力圆,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大剪应力,即：,三.结论,代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在 三个应力圆圆周上或圆内。,因此,由三向应力圆可以看出,最 大，最小正应力及最大剪 应力分别为,注意其位置？,四.特例分析,其特点：,由平面应力状态的单元体可知,无应力的那个平面也就是一个主平面，因此,平面应力状态的一个主应力为零; 由平面应力状态正应力的极值表达式(应力圆)得另二个主应力大小，将三个主应力按代数值大小排列得主应力为 最大剪应力,注意可能与平面应力状态的面内最大剪应力不同!,已知一点的单元体的应力状态如图所示。求,(1)主应力大小,(2)作三向应力圆,(3)最大剪应力,

10、（1）求主应力大小 由图的单元体可知前后面为主平面，其上主应力为30MPa，由于三个主平面相互垂直，故另三个主应力必发生在与前、后主平面垂直的某二个截面上。因此可由上、下、左、右四个侧面的应力状态求出另二个主应力大小及主平面方位。 由平面应力状态解析式得另二个主应力大小为即解得104.72MPa与15.28MPa，按代数值大小排列得主应力为,例题8-9,（2）作三向应力圆。由上面三个主应力可作图 三向应力圆;,（3）最大剪应力,一.各向同性材料的广义胡克定律叠加法,=,+,+,8-5 应力与应变间的关系,同理,可计算出,于是得以下的,应力、应变关系广义胡克定律:,主应力和主应变的方向重合。1

11、2 3,各向同性材料的广义胡克定律的一般形式 三个弹性常数之间的关系,二.各向同性材料的的体积应变,变形前体积：,变形后三个棱边为：,变形后体积：,体积应变：,一.微元应变能,8-6 三向应力状态下的应变能密度,二.应变能密度,体积改变能密度与形状改变能密度,体积改变能密度与形状改变能密度,将一般应力状态分解为两种特殊情形,+,不改变形状，但改变体积,不改变体积，但改变形状,拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件,对于,研究材料在复杂应力状态下的破坏规律强度理论的任务。,8-7 强度理论及其相当应力,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因

12、素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,一.基本概念,强度理论 是为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏(或失效)原因的假设及计算方法。,脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断 裂，断面较粗糙，且多发生在垂直 于最大正应力的截面上，如铸铁受 拉、扭，低温脆断等。,塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光 滑，且多发生在最大剪应力 面上，例如低碳钢拉、扭， 铸铁压。,材料的破坏形式,最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,二.经典强度理论,

13、断裂条件,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服

14、破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,屈服条件,强度条件,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。,形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,强度理论的统一表达式：,相当应力,例题8-10:试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？,

15、三.实力分析,例 题 8-11,已知 ：铸铁构件上危险 点的应力状态。 铸铁拉伸许用应 力 =30MPa。 试校核: 该点的强度。,解：首先根据材料和应力状态确定强度理论.,脆性断裂，最大拉应力准则,max= 1 ,其次确定主应力,其次确定主应力,129.28MPa, 23.72MPa, 30,最后应用强度设计准则校核强度,max= 1 29.28MPa = 30MPa,结论：危险点的强度是安全的。,已知： 和 试写出:最大切应力准则和形状改变能密度准则的表达式。,例 题 8-12,解：确定主应力,对于最大切应力准则,对于形状改变比能准则,应力状态:是指通过“一点”不同截面上的应力情况.它可以

16、用围绕该点三对相互垂直的微面构成的微正六面体来表示. 应力分析:是根据已知应力状态求解任意指定斜截面上应力。 主应力:即正应力极值，或剪应力为零的微面上的正应力，平面一般应力状态一般有两个非零主应力 ,另一主应力为零.,一.基本概念,本章小结,主平面：,剪应力为零的面.,主单元体:各侧面上只有正应力作用,而无剪应 力作用的单元体. 平面应力状态:两个主应力不等于零的应力状态. 三向应力状态:三个主应力不等于零的应力状态. 强度理论:关于材料破坏原因的假设及计算方法。,二.平面应力状态,解析法,其基本方法为截面法，利用平衡条件可求得任意斜截面上应力表达式： .,正应力极值:,主平面 方位:,剪应力极值:,图解法(应力圆),注意:点面对应、转向对应及二倍角对应,应力圆上某一点的坐标值对 应着微元某一截面上的正应力和切应力.,三.