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文档简介

1、,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数的求导法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,且有,推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 设,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.,例如：,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,口诀 :,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,与,不同,例1. 设,解:,例2.,解:,例3. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解

2、的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,则复合函数,都可微,这性质叫做全微分形式不变性.,例 6.,解法1:,解法2:,第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数(不要求),隐函数的求导方法,所确定的函数为隐函数.,接下来怎么求隐函数的导数,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,一个连续函数 y= f (x),并有连续,(隐函数求导公式),具本推导如下：, 具

3、有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若隐函数的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则隐函的,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个可导隐函数,解: 令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令x =0,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例

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