函数的奇偶性

1、,1.3.2函数的奇偶性,思考： 初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？,轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿 直线折叠，能够与另一图形重合）,中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形 绕某点旋转 ，能够与另一图形重合）,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这

2、时我们称函数y=x2为偶函数.,1偶函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数,例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.,定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。,问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？ （定义域关于原点对称） 问题2：为什么强调任意和都有？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题3：偶函数的图像有什么特点？ （关于y轴对称） f(x)为偶函数 f(x)的图像关于y轴对称,问题4：如何判断一个函数是偶函数？ 1 形

3、-函数图像关于y轴对称（图像容易画出的函数） 2数-利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称 （2） 确定f(x)于f(-x)的关系 （3） 若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数 问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？,观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.,f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-

4、f(2) f(-1)=-1=-f(1),2奇函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函数,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,问题1：什么是奇函数？ 定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。 问题2 ：奇函数的定义域有什么要求？ 奇函数的定义域关于原点对称 问题3：为什么强调任意和一般？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题4：奇函数的图像有什么特点？ 函数的图像关于原点对称 f(x)为奇函数 f(x)的图像关于原点对称,3、奇

5、、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)也成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立.,2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,注意：,1、函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的是函数的整体性质；,5、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,4、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,（1）若则是偶函数；,（2）若对于定义域内的

6、一些，使 则是偶函数；,（3）若对于定义域内的无数个，使 则是偶函数；,（4）若对于定义域内的任意，使 则是偶函数；,（5）若则不是偶函数。,对于定义在 上的函数，,【练习1】判断：,例1、判断下列函数的奇偶性：,(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,(2)解：定义域为 x|x4 定义域不关于原点对称。,f(x)是非奇非偶函数,(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)

7、偶函数,(5) f(x)=5 (6) f(x)=0,(7) f(x)=x+1 (8) f(x)=x2 x- 1 , 3,3.用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；,(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,(3)、下结论,4.奇偶函数图象的性质,1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是一致的.,2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是相反的.,说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性,例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,利用对称性求函数的解析式,本课小结,1、两个定义：