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文档简介
微积分讲课提纲,微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:,第五节 函数图形的凹向与拐点,第三章 微分中值定理及导数的应用,一、曲线凹凸的定义,二、曲线凹向的判定定理,三、曲线的拐点及其求法,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。,L1 是“下凹”弧，L2是“上凹”弧 ，L3既有上凹弧，也有下凹弧。,定义 设 f(x)在(a,b)内可导,且如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹(或称“凹”)的；如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹(或称“凸”)的。,上凹的,下凹的,一、曲线凹凸的定义,定义,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、定理 (曲线凹向的判定定理),证明,分别应用L定理，得,两式相减，得,由假设,这就证明了,同理可证（1）,例,解,注意到,例：,解：,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,证,定理（拐点的第一充分条件）,例：,解,上凹,下凹,上凹,拐点,拐点,定理（拐点的第二充
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