高等数学课件1-3第三节 函数的极限

1、第三节函数的极限,各自变量的变化过程中的极限 极限的性质,1/25,一、各自变量的变化过程中的极限,由xn=f(n) nN，有,极限问题中的个要素：,1) 自变量的变化过程，,2) 函数。,2/25,函数种自变量的连续变化过程：,x x - x x x0 xx0+0 xx0-0,直观上，当|x|无限增大时，函数f(x)=1/x 无限接近于,当x往正方向无限增大时，函数f(x)=arctanx无限接近于,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限增大”、“无限接近”?,0。,对任给定的 0，都存在自然数 N=N () ，使得当 nN 时，恒有 |xn-a|=|f(x)-a| 成立。,定义 设f(x)在

2、a,+)有定义， =A 对任给定的 0，都存在 X=X() a，使得当 x X 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,定义,几何解释 y A+ y=f(x) A A- O X x,即 A x + 时， 曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A .,定义 f(x)在（-，a有定义， A 对任给定的 0，都存在 X=X()0，使得当 x- X 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,定义,几何解释 y A -M O 即 A x - 时，曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A。,定义 设f(x)在U()有定义， A 对任给定的 0，都存在 X=X()0，使得当 |x|X 时，恒有 |

3、 f(x)-A| 成立。,定义,即 A x 时， 曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A .,几何解释:,不难证明：,定义,*例6,证,22/25,定义 设f(x)在x0的某个去心邻域有定义， A 对任给定的 0，都存在 = ()0，使得当0 |x-x0| 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,几何解释:,定义 设f(x)在x0的某个右去心邻域有定义， 对任给定的 0，都存在 = ()0,使得当 0 x-x0 ( 即x0 x x0+ ) 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,定义 设f(x)在x0的某个左去心邻域有定义， 对任给定的 0，都存在 = ()0,使得当 - x-x00 (

4、 即x0 - x x0) 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,不难证明：,注意：,例4 证明 2,证：,例5 证明：,证 ：对任给定的 0，,左右极限存在但不相等,例7,证,例8,解：,例3 设 x0 0，试证：,证 ：对任给定的 0， 1) 当 x00 时，,14/25,例5,解,16/25,二、极限的性质,唯一性： 若对自变量 t 的某一变化过程，f(t) 收敛，则在此变化过程中f(t)的极限唯一。 有界性： 若对自变量 t 的某一变化过程，f(t) 收敛，则在此变化过程中的某一时刻之后 f(t) 有界。,19/25,3. 保号性： 若对自变量 t 的某一变化过程，有 lim f(t)

5、0 (或 0 (或 0 对此变化过程有 lim f(t) 0 。,20/25,4. 保序性： 若对自变量 t 的某一变化过程，有 lim f(t) lim g(t) ， 则在此变化过程中的某一时刻之后，恒有 f(t) g(t) 。 此性质等价于： 若对自变量 t 的某一变化过程，f(t)、 g(t)收敛，并且在此变化过程中的某一时刻之后，恒有 f(t) g(t) ，则对此变化过程有 lim f(t) lim g(t) 。,21/25,*函数极限与数列极限的关系,23/25,*例7,证,二者不相等,24/25,三、小结,极限的两个要素, 函数极限的定义 自变量的变化过程中的极限的统一描述（共有7种自变量的变化过程） 极限的性质（统一描述）,25/2