第四章_6控制系统根轨迹分析举例

1、2020年7月7日，星期二，第5节控制系统根轨迹分析方法，2020年7月7日，星期二，2，通过使用根轨迹，可以分析和校正闭环系统的性能，并且可以通过给定的参数确定闭环系统的零极点位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统参数；对系统进行更正。2020年7月7日，星期二，3，1。条件稳定系统分析，开环极点：0，-4，-6，零点：实轴上的根轨迹间隔：解根据画根轨迹的步骤，我们可以得到：2020年7月7日星期二，4，分离角(点)，2020年7月7日星期二，5，入射角：与虚轴的交点(略)。此时的增益值：从图中可以看出，当和，系统是稳定的(为什么？)；当系统不稳

2、定时。左图是用Matlab工具绘制的。2020年7月7日，星期二，6，2。开环系统参数的暂态性能分析和确定，当开环根轨迹的增益或其他开环系统参数发生变化时，可以清楚地看到闭环系统极点位置和暂态性能的变化。以二阶系统为例：开环传递函数为，闭环传递函数为，共轭极点为：在S平面上的分布如图所示：闭环极点的张角为：故称阻尼角。斜线称为等阻尼线。我们知道，闭环二阶系统的主要性能指标是超调量和调节时间。这些性能指标与闭环极点的关系如下：2020年7月7日，星期二，8。上述结论也适用于具有主导极点的高阶系统。以下示例：示例4-12单元反馈系统的开环传递函数是：如果需要闭环单元阶跃响应的最大过冲，请尝试确定开

3、环放大系数。解决方法：首先画根轨迹为右。从图中可以看出，根轨迹和虚轴的交点是j5，-j5，当临界增益不变时，闭环系统是不稳定的。星期二，2020年7月7日，9，这是一个三阶系统。从根轨迹可以看出，随着增加，优势极变得更加突出。因此，二阶系统的性能指标可用于近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴成0角的直线，并在a点和b点与根轨迹相交。那么a点和b点就是闭环共轭的主导极点，系统的超调量为18%。通过寻找点A和点B的坐标，我们可以确定此时的根轨迹增益，然后得到开环放大系数k，星期二，2020年7月7日，10。由于闭环极点的和等于开环极点的和，其他闭环极点是：2020年7月7日，星期二，11。特别指出开

4、环极点和零点对根轨迹形状的影响值得注意。一般来说，在开环传递函数中，在S的左半平面上加一个极点会使原根轨迹向右移动。从而降低系统的相对稳定性并增加系统的调节时间。星期二，2020年7月7日，12，推荐使用的MATLAB参考书：现代控制工程，由绪子胜子，陆博英翻译，电子工业出版社的Matlab控制系统设计，由欧阳黎明编写，国防工业出版社，3。用MATLAB绘制根轨迹，2020年7月7日，星期二，13，编号=001；%开环传递函数分子系数，降低的功率排列den=1.320%开环传递函数分母系数，降低的功率安排r=rlocus(num，den)；示例系统的开环传递函数为：尝试用Matlab绘制系统的

5、根轨迹。打开Matlab，创建一个m文件，并输入以下程序片段：星期二，2020年7月7日，14，例4-13。众所周知，系统的开环传递函数是(1)画出系统的根轨迹；(2)计算使系统稳定的K值范围；(3)针对斜率输入计算系统的稳态误差。解决方案：(1)绘制根轨迹：2020年7月7日，星期二，15，找到拍摄角度：并得到它。系统有三个根轨迹，一个从原点开始，结束于开环零点-1；另外两个分别从原点的出射角开始，以-3和无穷大的零点结束。会议和分离，星期二，2020年7月7日，16，当用于寻找与虚拟轴的交点的系统的特征方程是Routh表时，根轨迹和虚拟轴之间的交点可以从辅助方程中找到。(2)根据劳斯表，系

6、统是稳定的。(3)系统包含三个积分环节，属于类型系统，类型系统对斜率输入的稳态误差为零。例4-14已知单元反馈系统的开环传递函数是(1)画出系统的根轨迹；(2)计算增益k值时，系统的阻尼比为，计算此时系统的闭环特征根；(3)分析K对系统性能的影响，找到系统最小阻尼比对应的闭环极点。星期二，2020年7月7日，18，当阻尼角，代表角度的直线为OB，其方程为，代入特征方程后，得到实部和虚部分别为零，并有解。从图中可以看出，当直线ob与圆相切时，系统的阻尼比和特征根为。星期二，2020年7月7日，19，对于分离点，我们可以从振幅条件中看到，对于收敛点，我们可以从根轨迹图中看到，闭环系统有一对不相等的

7、负实极点，其瞬态响应是过阻尼的。当闭环系统有一对共轭复极点时，其瞬态响应是欠阻尼的。同时，闭环系统有一对不相等的负实极点，瞬态响应被过阻尼。星期二，2020年7月7日，20，坐标原点作为根轨迹圆的切线，该切线是直线OB，直线OB和负实轴之间的夹角的余弦是系统的最小阻尼比。从上面可以看出，系统的闭环极点是。例4-16:已知单元反馈系统的根轨迹如下图所示。写出系统的闭环传递函数；2020年7月7日，星期二，22，解答：从根轨迹图来看，系统的开环传递函数为：单元反馈系统的闭环传递函数为：2020年7月7日，星期二，23，总结，条件稳定系统的分析临界稳定增益的确定；开环系统参数阻尼角和等阻尼线的瞬态性能分析和确定：超调量、调节时间和闭环极点之间的关系；根据性能指标，确定二