考研数学-函数与极限.ppt

1、1,基础考研第一章,函数与极限,2,考研：,早开始比任何事情都重要.,3,1.函数定义：,设x和y是两个变量，,法则，总有确,定的数值y和它对应，,记作,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域.,函数值.,函数值的全体组成的集合称为函数的值域.,如果对于每一个给定的,则称y是x的函数，,一、函数,图形:,( 一般为曲线 ),按照,4,2.函数定义的两要素：,定义域,和,对应法则,3.两个函数相同的条件：,(1)定义域相同，(2)对应法则相同,不同,相同,相同,定义域:,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,5,4.定义域的求法：,(1)

2、分式函数：,分母不等于零的自变量的值.,(2)开偶次方：,(3)对数函数：,使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域.,(7)多个函数的代数和的定义域：,是其各自定义域的交集.,6,5.函数的四种特性,(1)函数的有界性:,设函数,区间,说明：,1.界不唯一,不一定找最小的界.,2.函数的有界性是局部概念.,3.区分无界与无穷大，,无穷大一定无界，,但无界不一定,是无穷大.,7,3.区分无界与无穷大，,无穷大一定无界，,但无界不一定,是无穷大.,4.还可定义有上界、有下界,有界的充分必要条件是既有上界又有下界,8,(2) 单调性,设函数,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称

3、,为 I 上的,单调减函数 ;,注意:(1)这里是严格单调,(2)单调性是局部概念.,9,(3)函数的奇偶性:,设D关于原点对称，,对于,有,则称f(x)为偶函数.,有,则称f(x)为奇函数.,注意：,(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；,(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形 关于y 轴对称；,是,(3),奇偶函数的定义域不一定是R.,(4) 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,则,10,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期.,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,说明：,10周期函数的定义域是无限的点集.,20周期函数不

4、一定存在最小正周期 .,结论：,设函数,11,注意：,因子而无“0”因子,12,例2.设在区间,解,13,6.反函数,(1)定义,14,(2)性质,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,（注意：对单值函数而言的）,15,7. 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合函数,16,8. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,为初等函数.,17,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,注意：,分段函数一般不是初