最短路径问题

1、最短路径问题,1,问题：如图,点A、B分别在直线l的两侧，你能在直线l上找到一点C，使点C到点A、点B的距离和最短吗？试一试，并说明理由。,C,这样作的依据：两点之间，线段最短。,最短路径问题,基本类型,2,15:21,原题再现1（河边饮马问题）如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,类型1：轴对称,3,15:21,可转化为以下问题： 如图,点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一点C，使点C到点A、点B的距离和最短？,A,C,1.作点A关于直线l的对称点A；,2.连接A

2、B，与直线l相交于点C。,则点C即为所求。,类型1：轴对称,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,4,15:21,B,C,可转化为以下问题： 如图,点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一点C，使点C到点A、点B的距离和最短？,1.作点B关于直线l的对称点B；,2.连接AB，与直线l相交于点C。,则点C即为所求。,类型1：轴对称,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,5,15:21,点击中考: 1.（2013广西中考）如图3，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ,2. （2013济宁中考）如图4，在直角

3、坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（） A（0，0） B（0，1） C（0，2） D（0，3）,图3,图4,类型1：轴对称,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,6,15:21,原题再现（造桥选址问题）如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。,图1,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,7,15:21,原题再现（造桥选址问题）可转化成以下问题： 如图

4、，直线a、b平行，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a与点M。当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？,A,A,B,M,N,a,b,问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,8,15:21,原题再现（造桥选址问题）可转化成以下问题： 如图，直线a、b平行，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a与点M。当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？,A,B,M,N,a,b,A,问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+N

5、B最小？,问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？,线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,9,15:21,拓展应用：如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ。桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,10,15:21,拓展应用：如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ。桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行

6、的直线，桥要与河垂直）。,A,B,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,11,15:21,拓展应用：如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ。桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。,A,B,M,N,P,Q,A,B,线段AB与直线b、c分别交与点N、P，即在点N处建桥MN，在点P处建桥PQ，所得路径AMNPQB最短。,类型2：平移,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,12,15:21,1.如图7，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是_,通

7、过化立体为平面，用“两点之间，线段最短”求最短路径。,类型3：立体平面,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,B,13,15:21,2.如图8，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） （C）2 （D）1 3.如图9是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为_。,图8,图9,B,类型3：立体平面,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,13cm,14,15:21,（2013东营，16，4分）如图，圆柱形容器中，高为12m

8、，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部03m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿03m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,1.3,类型4：综合运用,P,15,15:21,感悟收获,最短路径问题,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,A,C,类型1：轴对称,类型2：平移,A,B,A,B,类型3：立体平面,依据：两点之间线段最短。,16,15:21,1.现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最

9、小值为 。 2、在菱形ABCD中，AB=2， BAD=60，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。 3.在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小,练习反馈,最短路径问题,第1题,第2题,17,15:21,4、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点的坐标； （）若E、F为边上的两个动点，且EF=2,，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,练习反馈,18,15:21,4、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点的坐标； （）若E、F为边上的两个动点，且EF=2,，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.,练习反馈,利用“转化”思想，把相关问题转化为基本类型：,E,F,19,15:21,4、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点