高等数学课件同济六版上册

1、第一章 函数 极限 连续,一、基本性质 二、函数的极限 三、函数的连续,本章介绍函数、极限、连续的基本概念，以及它们的一些性质。,如：,函数的单调性、函数周期性、奇偶性等。,函数的有界性、函数的极限、连续等。,第一节 映射与函数,一、集合 区间 二、映射与函数 三、函数的基本特性 四、得到新函数方法 五、初等函数,一、集合(set)区间(interval),1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,记为,唯一确定的特性：任意对象是否为该集合的元素，可唯一判别。,(3) 文氏图,2.表示法:,(1) 分为 有限集和无限集,3.几种集合:,(2) 常用数集,

2、N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,4.集合的运算:,(3) 不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,例如,记为 A=B,(3) 集合的并、交、差、补运算,交换律 结合律 分配律 得摩根律,5.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,两端点间的距离为区间长度 I,(1)有限区间,称为半开区间,称为半开区间,(2) 无限区间,Def,Def,Def,6.邻域(neighborhood):,=(x0 -,x0+),二、映射(injection)与函数(function):,在某过程中数值保持不变的量称为

3、常量,Remark:,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,1.常量(constant)与变量(variable),绝对值(absolute):,运算性质:,绝对值不等式:,2. 映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,(1) 定义,y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域

4、, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X)f(x)|xX.,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;,集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX.,2. 映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,REMARK:,构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.,(1) 定义,例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x

5、2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0.,例2 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.,(2) 满射、单射和双射,设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).,在数学的不同分支中，映射有不同的惯用

6、名，如,算子、变换、泛函、函数等。,(3) 逆映射,设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射g, 即 g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X .,(4) 复合映射,设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记

7、作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)fg(x), xX .,NOTE： 映射的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义, f o g与g o f也未必相同.见书P7例题4,3. 函数概念,例如 圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域(Domain of definition),(1) 定义,函数的两要素:,定义域与对应法则.,(2) 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,(3)图形 (Graph):,(4) 函数的表示法,解析法(公式法） 列表法(表格法） 图像法(图形法） 描述法

8、,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,多值函数、 单值分支,一般只讨论单值函数,(5) 几个特殊的函数举例,绝对值函数(Absolute Function),符号函数(sign Function),取整函数(integral valued function) y=x,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,狄利克雷(Dirichlets Function)函数,取最值函数(Maximum and Minimum functions,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,例4,解,故,有界,无界

9、,1、函数的有界性(Bound):,三、函数的基本特性,2、函数的单调性(Monotonic Function):,单调增与单调减的函数统称为单调函数。,3函数的奇偶性(Even and Odd):,Even Function,Odd Function,4函数的周期性(Periodic Function):,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,周期函数意味着性:函数图形可由其一 个周期内的图形拷贝生成。,狄利克雷函数,是周期函数，且任意有理数均是它的的周期，故它没有最小正周期。,1.函数的四则运算(combinations of functions),四则运算的一些结论:,(1)f(x

10、)、g(x)在I上非负单增，则f(x)+g(x)、 f(x)g(x)也非负单增。,(2)f(x)、g(x)在R上是奇函数，则 f(x)g(x)是奇函数， f(x) g(x)是偶函数。,(3)f(x)、g(x)在 D上是有界函数，则f(x)+g(x)、 f(x) g(x)也是有界函数。,四、得到新的方法,证 f(x)、g(x)在D上是有界函数。,|f(x)|M, |g(x)| N.,|f(x)g(x)|f(x)|+|g(x)| M+N, |f(x)g(x)| |f(x)|g(x)| MN.,则 f(x)+g(x)、 f(x) g(x)在D上也是有界函数。,2、反函数(Inverse Functi

11、on),直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,Proposition:单值严格单调函数的反函数仍是单值严格单调，且保持直接函数的增(减)性。,事实上,证毕,3、复合函数(Composite Function),定义:,Note:,1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,4、 函数图像的平移、旋转、翻转、伸缩等 Transformation,复合函数的复合结构。,例5,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,例6,解,综上所述,1、幂函数(Power Function),（一）、基本初等函数,五、初等

12、函数(elementary functions),2、指数函数(Exponential Function),3、对数函数(Logarithmic Function),4、三角函数(Trigonometric Function),正弦函数(sine),余弦函数(cosine),正切函数(tangent function),余切函数(cotangent function),正割函数(secant ),余割函数cosecant,三角公式,(1).同角公式,(2).加法公式,(3).倍角公式,(4).半角公式,(5). 和差与积互化公式,5、反三角函数(inverse trigonometric fu

13、nction),幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,（二）、初等函数(Elementary Function),1. 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,2. 复合结构,奇函数.,偶函数.,3、双曲函数(hyperbolic function),奇函数,有界函数,双曲函数常用公式,以上公式可由双曲函数的定义直接得出； 形式类似于三角函数的性质。,4、反双曲函数,奇函数,yarsinh x是xsinh y的反函数, 因此, 从,求函数的yarsh x表示式:,中解出y来便是arsinh x .,因为ue y0, 故上式根号前应取正号, 于是,由于yln u, 故得,此二次方程根为,u 22x u10.,令ue y, 则由上式有