矩形的性质与判定

1、矩 形,2.5.1 矩形的性质,胡家塘学校数学组,在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？,图2-41,这些四边形的四个角都是直角.,我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.,平行四边形,矩形,矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.,可以知道：,矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,由于矩形是平行四边形，因此,如图2-42，四边形abcd为矩形，那么对角 线ac与db相等吗？,图2-42,图2-42,如图，四边形abcd是矩形，,于是有 ab=dc

2、， cba=bcd=90 ， bc=cb.,因此 cbabcd. (sas),从而 ac=bd.,即矩形的对角线相等.,图2-42,矩形的对角线相等.,由此得到矩形的性质：,图2-43,解 abcd是矩形，,从而, aob是等边三角形., ab=oa=2cm.,又aob = 60，, abc = 90，, 在rtabc中，,图2-43,解 abcd是矩形，,从而,在纸上画一个矩形abcd(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？,图2-44,如图，矩形abcd的对角

3、线相交于点o.,o,过点o作直线efbc，且分别与边bc ，ad相交于点e，f.,由于 ，因此obc是等腰三角形，从而直线ef是线段bc的垂直平分线.,由于adbc，因此efad. 同理，直线ef是 线段ad的垂直平分线.,因此点b和点c关于直线ef对称，点a和点d关于 直线ef对称，从而在关于直线ef的轴反射下，矩形 abcd的像与它自身重合，因此矩形abcd是轴对称 图形，直线ef是矩形abcd的一条对称轴.,类似地，过点o作直线mnab，且分别与边ab，dc相交于点m，n，则点m，n分别是边ab，dc的中点，直线mn是矩形abcd的一条对称轴.,矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都

4、是矩形的对称轴.,由此得到：,已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的 一个夹角为60，求矩形的各边长.,1.,答：矩形的各边长分别为1cm和,2. 如图，四边形abcd 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形abc斜边ac上的中线bo等于 斜边的一半.,例,如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，若aob=60，ab=4cm，则ac的长为 cm.,8,矩 形,矩形的判定,胡家塘学校数学组,矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？,如图2-46，四边形abcd 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此a

5、bdc， adbc，从而四边形abcd 是平行四边形. 所以abcd 是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.,图2-46,三个角是直角的四边形是矩形.,三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到：,从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？,你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？,如图2-47，由画法可知，四边形abcd的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？,我们来进行证明.,在abcd中，由于ab=dc，ac=db，b

6、c=cb，,因此 abcdcb. (sss),从而 abc=dcb.,又abc+dcb =180，,于是 abc=90.,所以 abcd是矩形.,图2-47,对角线相等的平行四边形是矩形.,由此得到矩形的判定定理：,对角线相等的四边形是矩形吗？,图2-48,举 例,（2） obc是等腰三角形，其中ob = oc，, ac与db相等且互相平分., obc是等腰三角形., ac = 2oc = 2ob = bd., abcd是矩形.,图2-48,例3 如图：在 abcd中，对角线ac、bd交于点o,efac, o 是垂足，ef分别交ab、cd于点e、f，且be=oe=0.5ae 求证: abcd是

7、矩形,1. 如图，在四边形abcd中，a=b=c=d， 求证：四边形abcd是矩形.,证明：因为四边形中，a=b=c=d ， 四边形的内角和为360， 所以a=b=c=d= 90 ， 所以四边形abcd是矩形. (三个角是直角的四边形是矩形.),2. 如图，在abcd中，对角线ac，bd相交于点o， aob = 60，ab= 2，ac= 4，求abcd的面积.,解： oa= =2，ab= 2，, oab是等腰三角形., oab是等边三角形.,又aob = 60，, oa=ob=2， ac=bd=4., abcd是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.),作oead于点e.,e,在rt oae中，ao=2，oe= =1，,