2011年第一轮总复习 二项式定理课件

1、1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,1.二项式定理是高考重点考查内容之一分值一般为58分考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。,这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式， 其中 叫做二项式系数,一般地，对于任意正整数n,一、基础知识,1。二项式定理,特点：,（1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升

2、幂排列，每一项中a与b的指数和为n。,2.通项公式,式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示。即,注意：,（1）表示第r+1项； （2）通项公式中的a与b的位置不能换. （3）要得到 即在(a+b)n中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a。,3.二项式系数与某项系数的区别：,二项式系数是 ，某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数展出部分。,4.二项式系数的性质,（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数相等，即 （2）增减性即最大值 （3）二项式系数和为 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1,即,1若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的

3、值为() A9 B8 C7 D6 解析：(x1)41 x4 a0a1xa2x2a3x3a4x4 a01，a2 6，a41，a0a2a48. 答案：B,2若( )n的展开式中各项系数之和为64，则 展开式的常数项为() A540 B162 C162 D540 解析：由已知条件(31)n64，则n6， Tr1 由3r0得r3，则展开式中的常数项为 540. 答案：A,3在(x )2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x 时，S等于() A23 008 B23 008 C23 009 D23 009 解析：(x )2 006x2 006 x2 005( ) x2 004( )2( )

4、2 006， 由已知条件S 22 00521 00323 008. 答案：B,4(2010上海春)在 的二项展开式中，常数项是_ 解析：Tr1 ，由题意知123r0， r4，故常数项为T560. 答案：60,二、题型与方法,通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组)这里必须注意隐含条件n，r均为非负整数且rn.,课堂互动讲练,rZ，k应为偶数 k可取2,0，2，即r可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为,【规律小结】(1)对求指定项、常数项

5、问题，常用待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给出的条件(特定项)，列出关于r的方程(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；,(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致,(1)二项式系数最大的项； (2)系数的

6、绝对值最大的项,已知 的展开式的二项式系数和比 的展开式的二项式系数和大992，求 的展开式中：,【思路点拨】根据二项式系数的性质，列方程求解n，系数绝对值最大问题需要列不等式组求解 【解】由题意知，22n2n992， 即(2n32)(2n31)0，2n32，解得n5.,(2)设第r1项的系数的绝对值最大，则TrTr1，且Tr1Tr2.,课堂互动讲练,1根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大 2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此

7、不等式组求得,【规律小结】,变式1.已知( )n(nN*)的展开式中第五项的系数与第 三项的系数的比是101， (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中含 的项； (3)求展开式中所有的有理项； (4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项,解答：由题意第五项系数为 ，第三项的系数为 ， 则 ，解得n8(n3舍去) 通项公式Tr1 (1)证明：若Tr1为常数项，当且仅当 0，即5r8，且rZ， 这是不可能的，所以展开式中没有常数项,(2)展开式中含 的项需 ， 则r1，故展开式中含 的项为T216 , (3)由Tr1 ， 若Tr1为有理项，当且仅当 为整数， 而0r8，故r0,2

8、,4,6,8，即展开式的有理项有5项，它们是：T1x4，T3112x1，T51 120 x6， T71 792x11，T9256x16.,(4)设展开式中的第r项、第r1项、第r2项的系数绝对值分别为 ， 若第r1项的系数绝对值最大， 则 解得5r6， 第6项和第7项的系数的绝对值相等且最大，而第6项的系数为负，第7项系数为正 系数最大的项为T7 . 由n8知第5项二项式系数最大，此时T5 .,课堂互动讲练,利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题,已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a

9、1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|.,【思路点拨】二项展开式是一个恒等式即对任意的xR都成立，因而可采用赋值完成 【解】令x1， 则a0a1a2a3a4a5a6a71 令x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737 2分,(1)a0C701，a1a2a3a72. 3分 (2)()2得：,(4)法一：(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7| (a0a2a4a6)(a1a3a5a7)， 1093(1094)2187. 法二：|a0|a1|a2|a7|， 即(12x)7展开式中各项的系

10、数和，令x1 |a0|a1|a2|a7|372187.,【规律小结】,对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0得常数项，令x1可得所有项系数和，令x1可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和,变式2. 若(2x )4a0a1xa2x2a3x3a4x4， 则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是() A1 B1 C0 D2 解析：令x1得a0a1a2a3a4(2 )4， 令x1，得a0a1a2a3a4( 2)4， 则(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a

11、1a2a3a4) (2 )4( 2)41. 答案：A,例4 求 的展开式的常数项。,从第五项起，后面各项不在再出现常数项，前四项的常数项分别为,原三项展开式的常数项为,法2 设在 中，m个因式取x，n个因式取,要得到常数项，则m,nN,m+n10,2n=m,得,原三项展开式的常数项为,小结： (1)对三项展开式，要合理分组或因式分解，转化为二项式的形式。 (2)分析如何得到所求项，利用组合解之。,例5 在 的展开式中，求 的系数。,当第1个因式取常数项时，(1+x)10的展开式取5次项，x5系数为 当第1个因式取-3x时，(1+x)10的展开式取4次项，x5系数为 当第1个因式取3x2时，(1

12、+x)10的展开式取3次项，x5系数为 当第1个因式取-x3时，(1+x)10的展开式取2次项，x5系数为,x5的系数为 + - =-63,变式3 （1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数； （2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.,1二项式定理及通项公式的应用 (1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理,规律方法总结,(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cnkankbk，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题 (3)在通项公式Tk1Cnkankbk(nN*)中，要注意有nN*，kN，kn，即