马尔科夫矩阵

1、,组长： 程增瑞 小组成员： 左壮 张妍 刘少丞 李若菡 主讲人：左壮 2016.12.14,马尔可夫转移概率矩阵,目录,历史的进程,马尔可夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行预测的方法。 安德烈马尔可夫（Andrey Markov，18561922）是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他状态无关。 在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。,基本概念,状态和状态转移 状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。 状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

2、转移概率是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率,客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。,马尔可夫过程 俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知目前状态 (现在)的条件下，它未来的演变 (将来)不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。,基本概念,马尔可夫链 马尔可夫链是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历

3、史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。,基本概念,基本概念,基本概念,基本概念,转移概率(transition probability) 转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。,定义,转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)： 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。,概率有什么性质？,转移概率矩阵有以下特征： 0Pij1 ，即矩阵中每一行 转移概率之和等于1。,性质,性质,

4、马尔科夫矩阵的特征值： 1）=1是它的一个特征值，它对应的特征向量x1的所有元素是非负值； 2）所有其他的特征值 |i|1；,当有一次状态转移时为一阶转概率矩阵，多次状态转移时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。,定义,1）建立转移概率矩阵。 2）利用转移概率矩阵进行模拟预测。 3）求出转移概率矩阵的平衡状态，即稳定状态。 4）应用转移概率矩阵进行决策。,应用,转移概率矩阵决策的应用步骤,假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。

5、根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60的人下月将继续使用黑妹牙膏，40的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70的人下月将继续使用中华牙膏，30的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表所示的统计表。,应用,应用,其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。,有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下： 即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。,假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份

6、的情况为： 称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。 一般地， k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。,应用,例: 设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是：250，300，450户，而11月份用户可能的流动情况如下： 现要求我们根据这些市场调查资料预测11、12两个月三家企业市场用户各自的拥有量。,应用,应用,根据调查资料，确定初始状态概率向量为： 根据市场调查情况

7、，确定一次转移概率矩阵为：,应用,利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市场占有率为：,应用,所以11月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲：10000.28 = 280 户 乙：10000.27 = 270 户 丙：10000.45 = 450 户 若12月份用户的流动情况与11月份相同，即转移概率矩阵不变，则12月份三个企业市场占有率为：,应用,12月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲：10000.306 = 306 户 乙：10000.246 = 246 户 丙：10000.448 = 448 户,应用,稳定状态概率为：,马尔科夫预测法在学生个人成绩预测中的应用 马尔科夫预测法

8、的假设条件分析 (1)学生下一次期末考试的成绩往往是和上一次考试成绩是相关的； (2)由于是对个人成绩作预测，而且预测期比较短，因此转移概率矩 阵可以认为是不变的； (3)用于预测的7门科目性质相似，有一一对应的关系； (4)几个学期的科数相同，都为7门。,应用,观察大一下学期、大二上学期、大二下学期三个学期的成绩，我的成绩都在70分以上，因此预测期的成绩也在70分以上的概率是比较大的，因此为简便起见，把成绩分为三个等级：90100分、80一89分，70一79分。进一步得到大一下学期到大二上学期分数等级转移表：,应用,应用,下学期成绩的预测,应用,应用,这个结果和大二下学期的结果是相同的，从表

9、面上看好象没有转移。但实际上因为用此转移概率矩阵算出来的大二下学期和实际的是有偏差的，即实际上这两学期的成绩结果不能简单的看是相同的。也因为数据比较少，用这种分类法预测的结果是非常租糙的。因此考虑了对模型设立的改进。 以上证明也可以看到，在上一期考的相对较差的科目，在下一期成绩有明显的提高；在上期考的好的科目，在下一期成绩有所下降。究其原因，一方面是由于对考的不好的科目提高了重视度，花了更的时间和精力，另一方面在考的好的科目重视度可能有所降低，导致成绩下降。因此，在时间的分配上一定要统筹规划，既要加强对考的差的科目的重视度，考的好的科目也不能松懈。,THANKS,for listening,主讲人：左壮 ppt制作：程增瑞 资料整理：程增瑞 张妍 刘少丞 李若菡,本小组在一起讨论了