计算方法21-非线性方程.ppt

1、1,第二章 非线性方程的数值解法,2.1 初始近似值的搜索 2.2 迭代法 2.3 牛顿迭代法（切线法） 2.4 弦截法（割线法）,2,方程的根 逐步搜索法 区间二分法,2.1 初始近似值的搜索,3,对于一元非线性方程f(x)=0 , 若存在数x*, 使得,一、方程的根,则称x*是方程的解或根,也称x*是函数f(x)的零点或根.,单根与重根,若函数f (x)能分解为：,则称x*是方程f (x)=0的m重根，m=1时称为单根.,4,重根的判断方法,设函数f (x)有m阶连续导数，x*是f(x)=0的m重根 的充要条件是,如：验证x=0是方程f (x)=e2x-1-2x-2x2=0的三重根.,解：

2、,f(0)=0.,5,有根区间：,若方程f (x)=0在区间a , b内至少有一根， 则称a , b为有根区间.,有根区间的判断：,定理2-1：,设函数f (x)在a ,b上连续，且 f (a) f (b)0,则 f (x)=0在(a , b)内至少有一个根.,定理2-2：,设f (x)在a ,b上单调连续，且 f (a) f (b)0,则 f (x)=0在(a , b)内有且只有一个根.,6,求方程根的近似值，需要解决的问题：, 根的存在性. 要判断方程有没有根，有几个；, 根的隔离. 找出有根区间，使得在较小的区间内,方程只有一个根，以得到根的近似值., 根的精确化. 利用合适的数值计算方

3、法，逐步,把根精确化，直至满足精度要求.,7,二、逐步搜索法,一般步骤：,取合适的步长,从x0=a出发，按步长逐步向右跨进行搜索，,若发现f(xk)与f(a)异号，则确定一个缩小的有根区间,其宽度等于步长h.,特别地，若f(xk)=0,则xk就是所求的根.,假设f(x)在有根区间a,b单值连续，且f(a)0.,8,解 由于f (x)是连续函数， f(0)= -10，故方程至少有一正实根.,所以f (x)在区间(1,1.5)内单调连续，因而在(1,1.5)内有且仅有一个实根，故可取1 ,1.5上任一点做初始近似根.,可见在(1,1.5)内有根.又,例 对方程f (x)=x3-x-1=0 搜索有根

4、区间.,设从x=0 出发，取步长h=0.5，逐步右跨搜索，得,9,解 函数f (x)=x3-1.8x2+0.15x+0.65连续，且 f(-1)0，故方程在(-1,2)内至少有一个根.,在 (-1 , -0.25) ,(0.5 , 1.25) ,(1.25 , 2)各区间内有 且只有一个根.,从 出发,取步长 ,向右搜索,得,10,三、区间二分法,原理：函数f (x)在a ,b上单调连续，且f (a) f (b)0， 则方程 f (x)=0在区间(a , b)内有且仅有一个实根x*.,基本思想 (1)把有根区间二分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根的小区间;(2)再把有根的小区间一

5、分为二,再判断根属于哪个更小的区间,如此反复,直到求出满足精度要求的近似根.,具体步骤如下：,11,这时有三种情况：,x*,x*,令,取 中点 将其二分，,新的有根区间为(a1 , b1 ) ，长度是 的一半。,12,第2次二分，取a1,b1中点,若 f(a1 )f(x1 )0，则 x*( a1 , x1 )，,令a2=a1 , b2=x1；,否则 令 a2=x1 , b2=b1 .,新的有根区间为(a2 , b2 ) 。,13,区间 的中点 形成一个序列,重复上述步骤,反复二分下去,可能会在某一步得到方程,根的精确值，,否则,便得到一组不断缩小的有根区间：,显然有,14,实际计算中，对于给定

6、的根的允许误差,只要,就可确定得到满足精度要求的近似根,同时也得到所需二分次数k.,15,解,这里,所以 是 的有根区间。,用二分法计算结果如下表：,16,（可求得根的精确值为 ）。,用二分法计算结果如下表：,17,所以可取,18,例3 证明非线性方程f(x)=1-x-sinx=0在0,1内有一根.,用二分法求误差不大于 的根要二分多少次?,解：f (x)是连续函数，且 f(0)0, f(1)0,所以，f (x)在0,1内有且只有一个根.,所以要二分14次.,19,二分法的计算步骤：,20,注意：,21,迭代原理 迭代的收敛性 迭代的收敛速度 迭代的加速,2.2 迭代法,22,1、一般形式（具

7、体做法）：,一、迭代原理,迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精度要求的结果.,取初始近似根 x0 ,代入右端，,方程 f (x)=0化为等价形式的方程 ， 连续.,构造迭代公式,进行迭代计算,23,这种求方程近似根的方法称为简单迭代法（逐次迭代法）.,称为迭代公式或迭代过程,称为根的初始近似值,称为根的k次近似值；,称为迭代函数；,称为迭代序列,其中：,如果这个序列有极限，则称迭代算法是收敛的，否则发散.,即序列 xk 的极限x*就是方程 f (x)=0的根.,24,若迭代法收敛，可经过有限次计算得到满足精度要求的近似根；,若迭代法发散，发散的迭代法没有任何使用价值。,注意：,25,解,将方程转化为等价方程,得相应的迭代公式,若取初值,计算结果如下表,26,注意：,很明显，将方程改写成等价方程的形式是不唯一的，,例如,方程x3-2x-3=0也可改写成,此时相应的迭代公