统计物理第六章1-2.ppt

1、第一章近独立粒子的最概然分布,统计物理学讲义,第一章 近独立粒子的最盖然分布,粒子运动状态的经典描述 粒子运动状态的量子描述 系统微观运动状态的描述 等概率原理 分布和微观状态 玻耳兹曼分布 玻色分布和费米分布 三种分布的关系,如何描述微观粒子的运动状态,问 题 ？,1.1 粒子运动状态的经典描述,1、几个概念 2、 空间 3、几个例子,粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。,粒子运动状态：指力学运动状态。 经典描述：遵从经典力学的运动规律。 量子描述：遵从量子力学的运动规律。,1、几个概念,微观运动状态： 在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数,粒子的运

2、动满足正则运动方程,一组 数值完全确定了这个系统的一个运动状态，这就是微观运动状态。,1、几个概念,1、几个概念,微观描述法： 使用粒子的坐标和动量的描述方法，也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态。,2、空间,设粒子的自由度为r，经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学状态由粒子的r个广义坐标q1, q2,qr和与之共轭的r个广义动量p1,p2,.pr在该时刻的数值确定。粒子的能量是其广义坐标和广义动量的函数：,如果存在外场，还是描述外场参量的函数。 为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1, q2,qr; p1,p2,.pr共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为空间。粒子在某一时

3、刻的力学运动状态可用空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出一条轨道，称为相迹。,2、空间,粒子在空间的描述： 由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态，在空间中用N个代表点表示。随着时间的变化，系统运动状态的变化由N个代表点在空间中的N条运动轨迹，即N条线代表。,2、空间,空间性质： i)空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化，以便于进行统计。空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。 ii) 在经典力学范围，在无相互作用的独立粒子系统中，任何粒子

4、总可找到和它相应的空间来形象地描述它的运动状态，但不是所有的粒子的运动状态可以在同一空间中描述。,粒子运动状态的经典描述（坐标，动量）,r个广义坐标 r个广义动量,空间 (2r维相空间),自由度 r,粒子自由度,力学运动状态,哈密顿量,单粒子状态 及其演变过程,空间中的 点和曲线,空间: 6维 以1维自由粒子为例: 空间为2维，如右图所示。,3、几个例子自由粒子,3、几个例子线性谐振子,分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动。 弹性力 ： 圆频率 ：,能量恒定的轨迹为椭圆,3、几个例子线性谐振子,自由度： 广义坐标： 广义动量： 动能：,r=1 , p,3、几

5、个例子平面转子,3、几个例子平面转子,角动量（动量矩）守恒定律： P=M=恒量,3、几个例子转子,自由度：r = 2 空间：4维 广义坐标： 能量： 广义动量： 动能：,3、几个例子转子,双原子分子的力学模型 ： 将质量转换成折合质量。 在没有外力作用的情形下，转子的总角动量M守恒。 如果选择Z轴平行于M，质点的运动必在平面上，简化为平面转子的情况。,3、几个例子转子,3、几个例子转子,/2, p=0,本节重点,定义 性质 粒子描述,空间,1.2 粒子运动状态的量子描述,1、量子力学知识 2、 粒子运动状态的量子描述 3、例子,1、量子力学知识,量子行为，量子力学 量子行为描述：量子态、量子数

6、 量子态：在量子力学中微观粒子的运动状态。由一组量子数表征，其数目等于粒子的自由度。,1、量子力学知识,粒子量子行为的描述概率振幅 波函数：(x,t) P概率 概率振幅 1波函数物理意义。 2 波函数的平方具有物理意义。它代表粒子在某处某时出现的几率。 3测量使其陷落为粒子性。,量子力学的基本原理,1、量子力学知识,当一个事件可以按几种不同的方式发生时，该事件的概率振幅等于各种方式分别考虑时的概率振幅之和。此时出现干涉： 如果完成一个实验，此实验能够确定实际上发生的是哪一种方式的话，则该事件的概率等于按各个不同方式发生的概率之和。,光量子： E = h E = pc p = E/c = h /

7、c = h/,粒子,1、量子力学知识,Heisenbergs Uncertainty Principle,1、量子力学知识,1、量子力学知识,1、量子力学知识,对电子波粒二象性的理解： 粒子性，只是经典粒子概念中的原子性或颗粒性，并不与“粒子有确切的轨道”的概念有什么必然的联系； 波动性，只是波动性中最本质的东西，波的“叠加性”，并不是一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起。,1、量子力学知识,Born提出的波函数的几率诠释： (x,y,z)2 表示电子出现在点（x,y,z）附近的几率大小的一个量。 (x,y,z)2xyz 代表在点（x,y,z）附近的小体积元xyz中找到粒子的几率。,

8、1、量子力学知识,电子呈现出来的波动性反映了微观客体运动的一种统计规律性，因此称为几率波，所以波函数(r)也称为几率波幅。 在非相对论的情况下，几率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性统一了起来。 注意：要满足归一化条件。 波函数有一个常数因子的不定性。 (r)和C(r)（C为常数） 相角不定性。 ei (r)与(r)所描述的是同一个几率波,Schrdinger Equation (1926),Erwin Schrdinger (1887-1961),在量子力学中粒子的运动状态的变化遵从薛定谔方程,2、 粒子运动状态的量子描述,量子行为，量子力学 量子行为描述：量子态、量子数 量子态：在量子力学

9、中微观粒子的运动状态。由一组量子数表征，其数目等于粒子的自由度。,例1、一维无限深平底势阱,定态Schrodinger方程,势：,满足的定态薛定谔方程,它的解一般可写为,例1、一维无限深平底势阱,驻波条件：,波函数解：,n=1, 2, 3 ,能量本征值：,动量：,n：运动状态,能量是量子化的,考虑动量（波传播）两个方向：,例1、一维无限深平底势阱,德布罗意关系： 对于一切微观粒子（能量为E，动量为p），它联系着圆频率为，波矢量为k的平面波。,例1、一维无限深平底势阱,例1、一维无限深平底势阱,测不准原理： n=0 ? 经典物理：粒子不动。 量子物理： 最小波数 ： 动量最小值：,例1、一维无限

10、深平底势阱,归一化条件：,例1、一维无限深平底势阱,驻波条件： 无限深的理解： 基态能量： 相对于基态E1 势阱的深度V0 愈大，阱内允许的能级数目愈多，无限深势阱模型就是愈好的近似,例1、一维无限深平底势阱,能级谱： 能级形成一个分立序列或分立谱；相邻能级之间的距离是,粒子的量子性： （1）m很小 （2）a很小 （3）n很小,One dimensional infinite deep potential dwell,子弹,问题讨论：量子数n的取值问题,驻波条件，周期性边界条件? 以一维无限深势阱为例： 驻波条件下： 周期性边界 条件下：,举一反三,推广到三维：,经 典 近 似：简单认为h=0

11、，完全忽略一切量子效应。 半经典近似：认为h很小，但不等于零。,相格,量子力学,经典力学,相格,不确定关系指出，粒子坐标的不确定值q和与之共轭的动量不确定值p满足qph，因此，如果用坐标q和动量p来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于空间中的一个体积。我们称之为一个相格。 自由度为1的粒子，相格大小为h 自由度为r的粒子，相格大小为hr,相格,以一维容器中的自由粒子为例,经典力学：|P|恒量 量子化： 空 间： 每一个可能的状态，都对应着相空间中一个面积为h的相格。,相格,自由度r1情形。一个量子态 （粒子一个可能的运动状态） 对应于空间中大小为hr 的一个体积元。 （相格体积为hr）。,不

12、同的量子态只是在空间中体积元hr的位置不同。 粒子的一个量子态在空间中所占的体积元hr称为相格。 空间称为子相宇。 如果将空间划分为许多个体积元,则在体积元中，粒子可能的运动状态数是,相格,把经典的连续的空间变成“相格”式的量子化的空间，从而使每一个量子态与一个相格相对应。这种处理虽然承认了量子粒子的状态是一些分立的量子态，但还是离不开用坐标和动量去描述粒子的微观运动状态，因而这种处理是一种半经典近似处理，不是一种彻底的量子力学处理。但这种处理可以几何化描述，很形象，在统计物理中很适用。,相格,经典粒子的一个运动状态,量子粒子的一个量子态,相应的空间的一个点,相应的空间中的一个体积为hr的相格

13、,相格,在同一相格内，不能存在两个不同的量子态。 两个以上的粒子可以同时处在同一个量子态， 一个相格中可以有两个以上的粒子（玻色子）。,相格,3、例子,3.1 自由粒子,Vibrational Modes of a String,fundamental,2nd harmonic,3rd harmonic,4th harmonic,一维,Vibrational Modes of a Rectangular Membrane,(1,1) mode,(1,2) mode,(2,1) mode,(2,2) mode,二维,三维,3.1 自由粒子,能量为l 简并度,三维自由粒子自由度3,求 n2=54

14、简并度？,3.1 自由粒子,3.2 原子中的电子,中心势场，球极坐标，空间自由度3 氢原子中的电子 三个量子数 n = 1, 2, 3, = 0, 1, , n-1 m = -, -+1, , -1, ,3.2 原子中的电子,(2) 自旋 考虑一个粒子：质量m，电荷e，自旋角动量量子数为1/2，粒子自旋磁矩，自旋角动量S。,电子自旋为一个自由度，描述粒子自旋只需要一个量子数ms为1/2。,一维线性振子的能级是非简并的，所有能级等间距。,3.3 线性谐振子,因此能级l的量子态有2l+1个。 我们说能级l是简并的，其简并度为2l1。,3.4 空间转子,Electron in a Hydrogen Atom,Labelled by three quantum numbers: n = 1, 2, 3, = 0, 1, , n-1 m = -, -+1, , -1, ,Stern-Gerlach Experiment (1922),What We Know About Electron Spin Today,Quantum Numbers of an electron in an atom,求体积